Задача №428: Нахождение катетов прямоугольного треугольника

Задача №428 Дано: Прямоугольный треугольник. \(S = 24\) \(см^2\) — площадь. \(c = 10\) см — гипотенуза. Найти: \(a, b\) — катеты. Решение: 1. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab\] Отсюда: \[24 = \frac{1}{2}ab \implies ab = 48\] 2. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \[a^2 + b^2 = c^2\] Подставим значение гипотенузы: \[a^2 + b^2 = 10^2 \implies a^2 + b^2 = 100\] 3. Составим систему уравнений: \[\begin{cases} ab = 48 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{cases}\] 4. Для решения воспользуемся формулой квадрата суммы: \[(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\] Подставим наши значения: \[(a + b)^2 = 100 + 2 \cdot 48 = 100 + 96 = 196\] \[a + b = \sqrt{196} = 14\] 5. Теперь имеем простую систему: \[\begin{cases} a + b = 14 \\ ab = 48 \end{cases}\] По теореме, обратной теореме Виета, \(a\) и \(b\) являются корнями квадратного уравнения: \[x^2 - 14x + 48 = 0\] Находим дискриминант: \[D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4\] Корни уравнения: \[x_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{2} = \frac{16}{2} = 8\] \[x_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{2} = \frac{12}{2} = 6\] Таким образом, катеты равны 6 см и 8 см. Ответ: 6 см, 8 см.