Решение задачи: Растяжение и сжатие ступенчатого бруса

На представленном изображении приведено решение задачи по сопротивлению материалов на тему «Растяжение и сжатие ступенчатого бруса». Ниже представлен ход решения, оформленный для записи в тетрадь. Задача: Построить эпюры продольных сил \(N\), нормальных напряжений \(\sigma\) и перемещений \(U\) для ступенчатого бруса, закрепленного одним концом и нагруженного сосредоточенными силами. Дано: Длины участков: \(l\), \(l\), \(l\) (общая длина \(3l\)). Площади поперечных сечений: \(S_1 = S\), \(S_2 = 2S\). Внешние силы: \(F_1 = F\) (направлена вниз), \(F_2 = 3F\) (направлена вверх). Модуль упругости материала: \(E\). Решение: 1. Определение продольных сил \(N\) (метод сечений). Идем от свободного (нижнего) конца бруса вверх. Направим ось \(z\) вниз. Участок 1 (от \(z = 3l\) до \(z = 2l\)): \[N_1 = F_1 = F\] Сила положительная, так как вызывает растяжение. Участок 2 (от \(z = 2l\) до \(z = l\)): Внешних сил на границе участков нет, сечение не меняет нагрузку. \[N_2 = F_1 = F\] Участок 3 (от \(z = l\) до \(z = 0\)): Добавляется сила \(F_2\), направленная вверх (сжатие). \[N_3 = F_1 - F_2 = F - 3F = -2F\] Знак минус означает, что верхняя часть бруса сжата. 2. Определение нормальных напряжений \(\sigma\). Напряжение вычисляется по формуле \(\sigma = \frac{N}{A}\). На нижнем участке (площадь \(S\)): \[\sigma_1 = \frac{N_1}{S} = \frac{F}{S}\] На среднем участке (площадь \(2S\)): \[\sigma_2 = \frac{N_2}{2S} = \frac{F}{2S}\] На верхнем участке (площадь \(2S\)): \[\sigma_3 = \frac{N_3}{2S} = \frac{-2F}{2S} = -\frac{F}{S}\] 3. Определение перемещений \(U\). Закрепление находится в точке \(z = 0\), поэтому \(U(0) = 0\). Перемещения вычисляются накоплением деформаций участков \(\Delta l = \frac{N \cdot l}{E \cdot A}\). Перемещение в конце 3-го участка (граница \(z = l\)): \[U_l = U_0 + \frac{N_3 \cdot l}{E \cdot 2S} = 0 + \frac{-2F \cdot l}{2ES} = -\frac{Fl}{ES}\] Перемещение в конце 2-го участка (граница \(z = 2l\)): \[U_{2l} = U_l + \frac{N_2 \cdot l}{E \cdot 2S} = -\frac{Fl}{ES} + \frac{F \cdot l}{2ES} = -\frac{Fl}{2ES}\] Перемещение в конце 1-го участка (свободный край \(z = 3l\)): \[U_{3l} = U_{2l} + \frac{N_1 \cdot l}{E \cdot S} = -\frac{Fl}{2ES} + \frac{F \cdot l}{ES} = \frac{Fl}{2ES}\] Вывод: На чертеже (эпюры г, д, е) эти значения нанесены графически. Эпюра \(N\) ступенчатая, эпюра \(\sigma\) ступенчатая, эпюра \(U\) ломаная линейная. Брус в целом удлинился на величину \(\frac{Fl}{2ES}\).