Решение задачи: Концентрация носителей в InSb

Задача 3. Воспользовавшись табличными значениями для эффективных масс носителей, оценить при комнатной температуре концентрацию носителей в собственном полупроводнике InSb. Решение: Для оценки концентрации носителей в собственном полупроводнике InSb при комнатной температуре нам понадобятся следующие табличные значения и формулы. 1. Табличные значения для InSb: * Эффективная масса электронов: \(m_e^* = 0.014 \cdot m_0\), где \(m_0\) - масса свободного электрона. * Эффективная масса дырок: \(m_h^* = 0.4 \cdot m_0\). * Ширина запрещенной зоны при комнатной температуре: \(E_g = 0.17 \text{ эВ}\). * Масса свободного электрона: \(m_0 = 9.109 \cdot 10^{-31} \text{ кг}\). * Постоянная Больцмана: \(k = 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}\) или \(k = 8.617 \cdot 10^{-5} \text{ эВ/К}\). * Постоянная Планка: \(\hbar = 1.054 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}\). 2. Комнатная температура: Примем комнатную температуру \(T = 300 \text{ К}\). 3. Формула для концентрации носителей в собственном полупроводнике: Концентрация собственных носителей заряда \(n_i\) в полупроводнике определяется формулой: \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \cdot \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] где \(N_c\) - эффективная плотность состояний в зоне проводимости, а \(N_v\) - эффективная плотность состояний в валентной зоне. 4. Формулы для эффективных плотностей состояний: \[N_c = 2 \left(\frac{2\pi m_e^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(\frac{2\pi m_h^* kT}{h^2}\right)^{3/2}\] где \(h = 2\pi\hbar\) - постоянная Планка. Расчеты: Шаг 1: Вычислим произведение \(kT\) в эВ. \(kT = 8.617 \cdot 10^{-5} \text{ эВ/К} \cdot 300 \text{ К} = 0.025851 \text{ эВ}\). Шаг 2: Вычислим эффективные массы в кг. \(m_e^* = 0.014 \cdot 9.109 \cdot 10^{-31} \text{ кг} = 1.27526 \cdot 10^{-32} \text{ кг}\). \(m_h^* = 0.4 \cdot 9.109 \cdot 10^{-31} \text{ кг} = 3.6436 \cdot 10^{-31} \text{ кг}\). Шаг 3: Вычислим \(N_c\) и \(N_v\). Для удобства можно сначала вычислить общий множитель: \[A = \frac{2\pi kT}{h^2} = \frac{2\pi kT}{(2\pi\hbar)^2} = \frac{kT}{2\pi\hbar^2}\] Переведем \(kT\) в Джоули: \(kT = 1.38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К} \cdot 300 \text{ К} = 4.14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}\). \[A = \frac{4.14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}}{2\pi (1.054 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с})^2} = \frac{4.14 \cdot 10^{-21}}{2\pi \cdot 1.110916 \cdot 10^{-68}} \approx \frac{4.14 \cdot 10^{-21}}{6.980 \cdot 10^{-68}} \approx 5.931 \cdot 10^{46} \text{ кг}^{-1} \text{м}^{-2} \text{с}^{-2}\] Это не совсем удобно, лучше использовать формулу целиком. \[N_c = 2 \left(\frac{2\pi m_e^* kT}{h^2}\right)^{3/2} = 2 \left(\frac{2\pi \cdot 1.27526 \cdot 10^{-32} \text{ кг} \cdot 4.14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}}{(6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с})^2}\right)^{3/2}\] \[N_c = 2 \left(\frac{3.320 \cdot 10^{-52}}{4.390 \cdot 10^{-67}}\right)^{3/2} = 2 \left(7.562 \cdot 10^{14}\right)^{3/2} = 2 \cdot (7.562^{3/2} \cdot 10^{21}) \approx 2 \cdot (20.8 \cdot 10^{21}) \approx 4.16 \cdot 10^{22} \text{ см}^{-3}\] (Обратите внимание, что обычно концентрации выражают в \(\text{см}^{-3}\), поэтому нужно будет перевести \(\text{м}^{-3}\) в \(\text{см}^{-3}\) делением на \(10^6\)). \[N_c \approx 4.16 \cdot 10^{22} \text{ м}^{-3} = 4.16 \cdot 10^{16} \text{ см}^{-3}\] \[N_v = 2 \left(\frac{2\pi m_h^* kT}{h^2}\right)^{3/2} = 2 \left(\frac{2\pi \cdot 3.6436 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot 4.14 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}}{(6.626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с})^2}\right)^{3/2}\] \[N_v = 2 \left(\frac{9.490 \cdot 10^{-51}}{4.390 \cdot 10^{-67}}\right)^{3/2} = 2 \left(2.162 \cdot 10^{16}\right)^{3/2} = 2 \cdot (2.162^{3/2} \cdot 10^{24}) \approx 2 \cdot (100.6 \cdot 10^{24}) \approx 2.01 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3}\] \[N_v \approx 2.01 \cdot 10^{26} \text{ м}^{-3} = 2.01 \cdot 10^{20} \text{ см}^{-3}\] Шаг 4: Вычислим экспоненциальный множитель. \[\exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right) = \exp\left(-\frac{0.17 \text{ эВ}}{2 \cdot 0.025851 \text{ эВ}}\right) = \exp\left(-\frac{0.17}{0.051702}\right) = \exp(-3.288) \approx 0.0373\] Шаг 5: Вычислим концентрацию собственных носителей \(n_i\). \[n_i = \sqrt{N_c N_v} \cdot \exp\left(-\frac{E_g}{2kT}\right)\] \[n_i = \sqrt{4.16 \cdot 10^{16} \text{ см}^{-3} \cdot 2.01 \cdot 10^{20} \text{ см}^{-3}} \cdot 0.0373\] \[n_i = \sqrt{8.3616 \cdot 10^{36}} \cdot 0.0373\] \[n_i \approx 9.144 \cdot 10^{18} \text{ см}^{-3} \cdot 0.0373\] \[n_i \approx 3.41 \cdot 10^{17} \text{ см}^{-3}\] Окончательный ответ: Концентрация носителей в собственном полупроводнике InSb при комнатной температуре составляет примерно \(3.41 \cdot 10^{17} \text{ см}^{-3}\). Примечание для школьника: Эта задача требует использования нескольких физических констант и формул. Важно аккуратно подставлять значения и следить за единицами измерения. В данном случае, для удобства, мы сначала рассчитали эффективные плотности состояний в \(\text{м}^{-3}\), а затем перевели их в \(\text{см}^{-3}\), так как концентрации обычно указываются в \(\text{см}^{-3}\). Также можно было сразу использовать постоянную Планка \(h\) в единицах, удобных для расчетов в эВ, но для универсальности лучше использовать СИ и затем переводить.