Решение задачи 6: Напряженность поля

Задача №6 Дано: \( \sigma = -1 \cdot 10^{-6} \) Кл/м\(^2\) \( q = -2 \cdot 10^{-6} \) Кл \( a = 0,5 \) м \( r_1 = 0,2 \) м \( r_2 = 0,5 \) м \( \varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \) Ф/м \( k = 9 \cdot 10^9 \) Н·м\(^2\)/Кл\(^2\) Найти: \( E \) — ? Решение: Согласно принципу суперпозиции, напряженность поля в данной точке равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых плоскостью (\( E_1 \)) и точечным зарядом (\( E_2 \)): \[ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 \] 1. Напряженность поля бесконечной заряженной плоскости: \[ E_1 = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0} \] Так как \( \sigma < 0 \), вектор \( \vec{E}_1 \) направлен к плоскости. Подставим значения: \[ E_1 = \frac{1 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 8,85 \cdot 10^{-12}} \approx 56497 \text{ В/м} \] 2. Напряженность поля точечного заряда: \[ E_2 = \frac{k \cdot |q|}{r_2^2} \] Так как \( q < 0 \), вектор \( \vec{E}_2 \) направлен к заряду. Подставим значения: \[ E_2 = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{0,5^2} = \frac{18000}{0,25} = 72000 \text{ В/м} \] 3. Определим взаимное расположение векторов. Точка находится на расстоянии \( r_1 = 0,2 \) м от плоскости, а заряд на расстоянии \( a = 0,5 \) м. Значит, точка лежит между плоскостью и зарядом. Расстояние от точки до заряда \( r_2 = 0,5 \) м. Поскольку точка находится на расстоянии 0,2 м от плоскости, а заряд на расстоянии 0,5 м от плоскости, и при этом расстояние от точки до заряда равно 0,5 м, это означает, что точка, заряд и проекция заряда на плоскость образуют прямоугольный треугольник (так как \( 0,5^2 \neq (0,5-0,2)^2 \), точка не лежит на перпендикуляре). Однако, чаще всего в таких школьных задачах подразумевается, что точка лежит на одной прямой с зарядом, перпендикулярной плоскости. Проверим геометрию: если точка лежит на перпендикуляре, то расстояние до заряда должно быть \( |a - r_1| = |0,5 - 0,2| = 0,3 \) м. Но в условии \( r_2 = 0,5 \) м. Это значит, что вектор \( \vec{E}_1 \) (перпендикулярен плоскости) и вектор \( \vec{E}_2 \) (направлен к заряду) образуют угол \( \alpha \). Из геометрии: проекция расстояния \( r_2 \) на нормаль к плоскости равна \( d = a - r_1 = 0,3 \) м. Тогда \( \cos \alpha = \frac{d}{r_2} = \frac{0,3}{0,5} = 0,6 \). Используем теорему косинусов для сложения векторов (угол между векторами \( \pi - \alpha \)): \[ E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos \alpha} \] Подставим значения: \[ E = \sqrt{56497^2 + 72000^2 + 2 \cdot 56497 \cdot 72000 \cdot 0,6} \] \[ E = \sqrt{3191911009 + 5184000000 + 4881340800} \] \[ E = \sqrt{13257251809} \approx 115140 \text{ В/м} \] Ответ: \( E \approx 115,1 \) кВ/м.