Решение задачи 26: Расчет параметров цепи конденсаторов

Задача №26 Дано: \( U = 6 \) В \( C_1 = 1 \) мкФ \( = 1 \cdot 10^{-6} \) Ф \( C_2 = 2 \) мкФ \( = 2 \cdot 10^{-6} \) Ф \( C_3 = 3 \) мкФ \( = 3 \cdot 10^{-6} \) Ф \( C_4 = 4 \) мкФ \( = 4 \cdot 10^{-6} \) Ф Найти: 1) \( C_{общ} \); 2) \( U_1, U_2, U_3, U_4 \); 3) \( q_1, q_2, q_3, q_4 \); 4) \( W_1, W_2, W_3, W_4, W_{общ} \). Решение: 1) Определение общей емкости цепи. Конденсаторы \( C_3 \) и \( C_4 \) соединены последовательно: \[ C_{34} = \frac{C_3 \cdot C_4}{C_3 + C_4} = \frac{3 \cdot 4}{3 + 4} = \frac{12}{7} \approx 1,71 \text{ мкФ} \] Участок \( C_{34} \) соединен параллельно с \( C_2 \): \[ C_{234} = C_2 + C_{34} = 2 + \frac{12}{7} = \frac{14 + 12}{7} = \frac{26}{7} \approx 3,71 \text{ мкФ} \] Конденсатор \( C_1 \) соединен последовательно с группой \( C_{234} \): \[ C_{общ} = \frac{C_1 \cdot C_{234}}{C_1 + C_{234}} = \frac{1 \cdot \frac{26}{7}}{1 + \frac{26}{7}} = \frac{\frac{26}{7}}{\frac{33}{7}} = \frac{26}{33} \approx 0,788 \text{ мкФ} \] 2) Определение зарядов и напряжений. Общий заряд цепи равен заряду на \( C_1 \) и на группе \( C_{234} \): \[ q_{общ} = q_1 = C_{общ} \cdot U = \frac{26}{33} \cdot 6 = \frac{52}{11} \approx 4,73 \text{ мкКл} \] Напряжение на \( C_1 \): \[ U_1 = \frac{q_1}{C_1} = \frac{4,73}{1} = 4,73 \text{ В} \] Напряжение на параллельном участке (на \( C_2 \) и на ветке \( C_3, C_4 \)): \[ U_{234} = U_2 = U_{34} = U - U_1 = 6 - 4,73 = 1,27 \text{ В} \] Заряд на \( C_2 \): \[ q_2 = C_2 \cdot U_2 = 2 \cdot 1,27 = 2,54 \text{ мкКл} \] Заряд на последовательной ветке \( C_3 \) и \( C_4 \): \[ q_3 = q_4 = C_{34} \cdot U_{34} = \frac{12}{7} \cdot 1,27 \approx 2,18 \text{ мкКл} \] Напряжения на \( C_3 \) и \( C_4 \): \[ U_3 = \frac{q_3}{C_3} = \frac{2,18}{3} \approx 0,73 \text{ В} \] \[ U_4 = \frac{q_4}{C_4} = \frac{2,18}{4} \approx 0,54 \text{ В} \] 3) Энергия каждого конденсатора (\( W = \frac{q \cdot U}{2} \)): \[ W_1 = \frac{4,73 \cdot 10^{-6} \cdot 4,73}{2} \approx 11,19 \text{ мкДж} \] \[ W_2 = \frac{2,54 \cdot 10^{-6} \cdot 1,27}{2} \approx 1,61 \text{ мкДж} \] \[ W_3 = \frac{2,18 \cdot 10^{-6} \cdot 0,73}{2} \approx 0,80 \text{ мкДж} \] \[ W_4 = \frac{2,18 \cdot 10^{-6} \cdot 0,54}{2} \approx 0,59 \text{ мкДж} \] 4) Общая энергия системы: \[ W_{общ} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 11,19 + 1,61 + 0,80 + 0,59 = 14,19 \text{ мкДж} \] Проверка: \( W_{общ} = \frac{C_{общ} \cdot U^2}{2} = \frac{0,788 \cdot 10^{-6} \cdot 36}{2} \approx 14,18 \text{ мкДж} \) (совпадает с учетом округлений). Ответ: 1) \( C_{общ} \approx 0,79 \text{ мкФ} \) 2) \( U_1 \approx 4,73 \text{ В}, U_2 \approx 1,27 \text{ В}, U_3 \approx 0,73 \text{ В}, U_4 \approx 0,54 \text{ В} \) 3) \( q_1 \approx 4,73 \text{ мкКл}, q_2 \approx 2,54 \text{ мкКл}, q_3 = q_4 \approx 2,18 \text{ мкКл} \) 4) \( W_1 \approx 11,19 \text{ мкДж}, W_2 \approx 1,61 \text{ мкДж}, W_3 \approx 0,80 \text{ мкДж}, W_4 \approx 0,59 \text{ мкДж}, W_{общ} \approx 14,19 \text{ мкДж} \)