Решение задачи 86: Расчет числа витков соленоида

Задача №86 Дано: \(d = 0,6 \text{ мм} = 6 \cdot 10^{-4} \text{ м}\) \(L = 1 \text{ мГн} = 10^{-3} \text{ Гн}\) \(D = 4 \text{ см} = 4 \cdot 10^{-2} \text{ м}\) \(\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}\) Найти: \(N\) — ? Решение: Индуктивность длинного соленоида определяется по формуле: \[L = \frac{\mu_0 \cdot N^2 \cdot S}{l}\] где: \(N\) — число витков; \(S\) — площадь поперечного сечения катушки; \(l\) — длина катушки. Так как витки прилегают плотно друг к другу в один слой, длина катушки \(l\) равна произведению числа витков на диаметр проволоки: \[l = N \cdot d\] Площадь поперечного сечения катушки через её диаметр \(D\): \[S = \frac{\pi \cdot D^2}{4}\] Подставим выражения для \(l\) и \(S\) в формулу индуктивности: \[L = \frac{\mu_0 \cdot N^2 \cdot \pi \cdot D^2}{4 \cdot N \cdot d}\] Сократим на \(N\): \[L = \frac{\mu_0 \cdot N \cdot \pi \cdot D^2}{4 \cdot d}\] Выразим из полученной формулы искомое число витков \(N\): \[N = \frac{4 \cdot L \cdot d}{\mu_0 \cdot \pi \cdot D^2}\] Подставим числовые значения: \[N = \frac{4 \cdot 10^{-3} \cdot 6 \cdot 10^{-4}}{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot \pi \cdot (4 \cdot 10^{-2})^2}\] \[N = \frac{24 \cdot 10^{-7}}{4 \cdot \pi^2 \cdot 10^{-7} \cdot 16 \cdot 10^{-4}}\] \[N = \frac{24}{64 \cdot \pi^2 \cdot 10^{-4}} = \frac{24 \cdot 10^4}{64 \cdot 9,87} \approx \frac{240000}{631,68} \approx 380\] Ответ: \(N \approx 380\) витков.