Решение задачи: Расчет переходного процесса классическим методом

Задача 2. Расчет переходного процесса классическим методом. Дано: \(E = 120\) В \(R_1 = R_2 = R_3 = 20\) Ом \(C = 100\) мкФ = \(100 \cdot 10^{-6}\) Ф Найти: \(i_1(t)\) Решение: 1. Докоммутационный режим (\(t < 0\)). Ключ разомкнут. В цепи постоянного тока конденсатор представляет собой разрыв. Найдем напряжение на конденсаторе \(u_C(0_-)\). Ток в цепи: \[i(0_-) = \frac{E}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{120}{20 + 20 + 20} = 2 \text{ А}\] Напряжение на конденсаторе равно сумме напряжений на резисторах \(R_2\) и \(R_3\): \[u_C(0_-) = i(0_-) \cdot (R_2 + R_3) = 2 \cdot (20 + 20) = 80 \text{ В}\] Согласно первому закону коммутации: \(u_C(0_+) = u_C(0_-) = 80 \text{ В}\). 2. Послекоммутационный режим (\(t \to \infty\)). Ключ замкнут, резистор \(R_2\) закорочен. Конденсатор снова заряжен до постоянного напряжения. Ток в установившемся режиме: \[i_1(\infty) = \frac{E}{R_1 + R_3} = \frac{120}{20 + 20} = 3 \text{ А}\] Установившееся напряжение на конденсаторе: \[u_C(\infty) = i_1(\infty) \cdot R_3 = 3 \cdot 20 = 60 \text{ В}\] 3. Составление характеристического уравнения. Для цепи после замыкания ключа эквивалентное сопротивление относительно зажимов конденсатора: \[R_{экв} = \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} = \frac{20 \cdot 20}{20 + 20} = 10 \text{ Ом}\] Постоянная времени цепи: \[\tau = R_{экв} \cdot C = 10 \cdot 100 \cdot 10^{-6} = 10^{-3} \text{ с} = 1 \text{ мс}\] Корень характеристического уравнения: \[p = -\frac{1}{\tau} = -1000 \text{ с}^{-1}\] 4. Определение закона изменения \(u_C(t)\). Общий вид решения: \(u_C(t) = u_C(\infty) + A \cdot e^{pt}\). При \(t = 0\): \(80 = 60 + A \Rightarrow A = 20\). \[u_C(t) = 60 + 20 \cdot e^{-1000t} \text{ В}\] 5. Определение искомого тока \(i_1(t)\). По второму закону Кирхгофа для левого контура после замыкания ключа: \[E = i_1(t) \cdot R_1 + u_C(t)\] Отсюда выражаем \(i_1(t)\): \[i_1(t) = \frac{E - u_C(t)}{R_1} = \frac{120 - (60 + 20 \cdot e^{-1000t})}{20}\] \[i_1(t) = \frac{60 - 20 \cdot e^{-1000t}}{20} = 3 - e^{-1000t} \text{ А}\] Ответ: \(i_1(t) = 3 - e^{-1000t}\) А.