Решение задачи по переходному процессу классическим методом

Задача 3. Расчет переходного процесса классическим методом при синусоидальном воздействии. Дано: \(e(t) = 120 \sin(1000t - 30^\circ)\) В \(R_1 = 20\) Ом, \(R_2 = 20\) Ом \(C = 50 \cdot 10^{-6}\) Ф \(\omega = 1000\) рад/с Найти: \(i_3(t)\) Решение: 1. Докоммутационный режим (\(t < 0\)). Ключ разомкнут, источник отключен от цепи. Энергия в конденсаторе отсутствует: \[u_C(0_-) = 0 \text{ В}\] Согласно закону коммутации: \(u_C(0_+) = u_C(0_-) = 0 \text{ В}\). 2. Установившийся режим после коммутации (\(t \to \infty\)). Используем комплексный метод. Комплексная амплитуда ЭДС: \(\dot{E}_m = 120 \cdot e^{-j30^\circ}\) В. Сопротивление конденсатора: \[X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{1000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = 20 \text{ Ом}\] Комплексное сопротивление конденсатора: \(\underline{Z}_C = -j20\) Ом. Эквивалентное сопротивление цепи: \[\underline{Z}_{экв} = R_1 + \frac{R_2 \cdot \underline{Z}_C}{R_2 + \underline{Z}_C} = 20 + \frac{20 \cdot (-j20)}{20 - j20} = 20 + \frac{-j400}{20(1 - j)} = 20 + \frac{-j20}{1 - j}\] \[\underline{Z}_{экв} = 20 + \frac{-j20(1 + j)}{2} = 20 - j10 + 10 = 30 - j10 \text{ Ом}\] Комплексный ток в неразветвленной части: \[\dot{I}_{1m} = \frac{\dot{E}_m}{\underline{Z}_{экв}} = \frac{120 \cdot e^{-j30^\circ}}{30 - j10} \approx \frac{120 \cdot e^{-j30^\circ}}{31.62 \cdot e^{-j18.43^\circ}} \approx 3.79 \cdot e^{-j11.57^\circ} \text{ А}\] Комплексная амплитуда напряжения на конденсаторе: \[\dot{U}_{Cm} = \dot{I}_{1m} \cdot \frac{R_2 \cdot \underline{Z}_C}{R_2 + \underline{Z}_C} = 3.79 \cdot e^{-j11.57^\circ} \cdot (10 - j10) = 3.79 \cdot e^{-j11.57^\circ} \cdot 14.14 \cdot e^{-j45^\circ} \approx 53.6 \cdot e^{-j56.57^\circ} \text{ В}\] Установившееся значение напряжения: \[u_{Cст}(t) = 53.6 \sin(1000t - 56.57^\circ) \text{ В}\] Установившееся значение тока \(i_3\): \[i_{3ст}(t) = \frac{u_{Cст}(t)}{R_2} = \frac{53.6}{20} \sin(1000t - 56.57^\circ) = 2.68 \sin(1000t - 56.57^\circ) \text{ А}\] 3. Свободный режим. Характеристическое уравнение: \(R_{экв} \cdot C \cdot p + 1 = 0\), где \(R_{экв} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = 10\) Ом. \[p = -\frac{1}{R_{экв} C} = -\frac{1}{10 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = -2000 \text{ с}^{-1}\] Свободная составляющая напряжения: \(u_{Cсв}(t) = A \cdot e^{-2000t}\). 4. Определение постоянной \(A\). Полное напряжение: \(u_C(t) = u_{Cст}(t) + u_{Cсв}(t)\). При \(t = 0\): \(u_C(0) = 53.6 \sin(-56.57^\circ) + A = 0\). \[A = -53.6 \cdot (-0.834) \approx 44.7 \text{ В}\] Тогда \(u_C(t) = 53.6 \sin(1000t - 56.57^\circ) + 44.7 \cdot e^{-2000t}\). 5. Искомый ток \(i_3(t)\). Так как резистор \(R_2\) подключен параллельно конденсатору: \[i_3(t) = \frac{u_C(t)}{R_2} = \frac{53.6 \sin(1000t - 56.57^\circ) + 44.7 \cdot e^{-2000t}}{20}\] \[i_3(t) = 2.68 \sin(1000t - 56.57^\circ) + 2.235 \cdot e^{-2000t} \text{ А}\] Ответ: \(i_3(t) = 2.68 \sin(1000t - 56.57^\circ) + 2.235 \cdot e^{-2000t}\) А.