Решение задачи ТОЭ: Переходный процесс классическим методом

Задача 1. Расчет переходного процесса классическим методом. Дано: \[ E = 120 \text{ В} \] \[ R_1 = 20 \text{ Ом} \] \[ R_2 = 20 \text{ Ом} \] \[ C = 50 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \] Найти: \( i_3(t) \) Решение: 1. Докоммутационный режим \( (t < 0) \). До замыкания ключа цепь была разомкнута, ток в ветвях не протекал, конденсатор не был заряжен. Согласно закону коммутации для емкости: \[ u_C(0_-) = u_C(0_+) = 0 \text{ В} \] 2. Послекоммутационный режим \( (t \to \infty) \). При \( t \to \infty \) конденсатор полностью зарядится и будет представлять собой разрыв цепи для постоянного тока. Ток в установившемся режиме протекает через \( R_1 \) и \( R_2 \): \[ i_{3уст} = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{120}{20 + 20} = 3 \text{ А} \] Установившееся напряжение на конденсаторе (равно напряжению на \( R_2 \)): \[ u_{Cуст} = i_{3уст} \cdot R_2 = 3 \cdot 20 = 60 \text{ В} \] 3. Определение постоянной времени \( \tau \). Для нахождения эквивалентного сопротивления \( R_{экв} \) относительно зажимов конденсатора, закоротим источник ЭДС. Резисторы \( R_1 \) и \( R_2 \) окажутся включенными параллельно: \[ R_{экв} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = \frac{20 \cdot 20}{20 + 20} = 10 \text{ Ом} \] Постоянная времени цепи: \[ \tau = R_{экв} \cdot C = 10 \cdot 50 \cdot 10^{-6} = 5 \cdot 10^{-4} \text{ с} \] Коэффициент затухания: \[ p = -\frac{1}{\tau} = -\frac{1}{5 \cdot 10^{-4}} = -2000 \text{ с}^{-1} \] 4. Расчет переходного напряжения на конденсаторе \( u_C(t) \). Общий вид решения: \[ u_C(t) = u_{Cуст} + A \cdot e^{pt} \] Используя начальное условие \( u_C(0) = 0 \): \[ 0 = 60 + A \Rightarrow A = -60 \] \[ u_C(t) = 60 \cdot (1 - e^{-2000t}) \text{ В} \] 5. Нахождение искомого тока \( i_3(t) \). Ток \( i_3(t) \) протекает через резистор \( R_2 \), который включен параллельно конденсатору. Следовательно, напряжение на резисторе \( R_2 \) равно напряжению на конденсаторе \( u_C(t) \): \[ i_3(t) = \frac{u_C(t)}{R_2} = \frac{60 \cdot (1 - e^{-2000t})}{20} \] \[ i_3(t) = 3 \cdot (1 - e^{-2000t}) \text{ А} \] Ответ: \( i_3(t) = 3 \cdot (1 - e^{-2000t}) \text{ А} \)