Решение задачи: Площадь прямоугольника и треугольника (8 класс)

Дано: \(ABCD\) — прямоугольник \(P_{ABCD} = 48\) см \(AD = 2 \cdot AB\) \(M\) — середина \(BC\) \(N\) лежит на продолжении \(DC\) так, что \(A, M, N\) лежат на одной прямой. Найти: \(S_{ADN}\), \(S_{ABCD}\) Решение: 1. Найдем стороны прямоугольника. Пусть \(AB = x\) см, тогда \(AD = 2x\) см. Периметр прямоугольника: \[P = 2 \cdot (AB + AD)\] \[48 = 2 \cdot (x + 2x)\] \[48 = 6x\] \[x = 8\] Значит, \(AB = 8\) см, \(AD = 16\) см. 2. Найдем площадь прямоугольника \(ABCD\): \[S_{ABCD} = AB \cdot AD = 8 \cdot 16 = 128 \text{ см}^2\] 3. Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(NCM\). Так как \(M\) — середина \(BC\), то \(BM = MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} AD = 8\) см. Углы \(\angle ABM = \angle NCM = 90^\circ\). Углы \(\angle AMB = \angle NMC\) как вертикальные. Следовательно, \(\triangle ABM = \triangle NCM\) по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует, что \(NC = AB = 8\) см. 4. Найдем высоту треугольника \(ADN\). Сторона \(ND = NC + CD = 8 + 8 = 16\) см. В треугольнике \(ADN\) основанием является \(AD = 16\) см, а высотой к нему — отрезок \(ND = 16\) см (так как \(ND \perp AD\)). 5. Найдем площадь треугольника \(ADN\): \[S_{ADN} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot ND = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 16 = 128 \text{ см}^2\] Ответ: \(S_{ADN} = 128 \text{ см}^2\), \(S_{ABCD} = 128 \text{ см}^2\).