Решение задачи №2 системой уравнений 2 степени

Задача №2 Пусть \(x\) — количество дней, за которое может выполнить всю работу первый рабочий, а \(y\) — количество дней, за которое может выполнить всю работу второй рабочий. Тогда производительность первого рабочего равна \(\frac{1}{x}\) работы в день, а второго — \(\frac{1}{y}\) работы в день. Составим систему уравнений на основе условий задачи: 1. При совместной работе они выполняют всю работу за 12 дней: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \] 2. Если первый выполнит половину работы (\(\frac{1}{2}\)), а затем второй — вторую половину (\(\frac{1}{2}\)), то потребуется 25 дней. Время первого составит \(\frac{1}{2}x\), время второго — \(\frac{1}{2}y\): \[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = 25 \] Решим полученную систему: Из второго уравнения выразим \(x + y\): \[ x + y = 50 \implies y = 50 - x \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12} \] Приведем к общему знаменателю в левой части: \[ \frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12} \] Применим свойство пропорции: \[ 50 \cdot 12 = 50x - x^2 \] \[ 600 = 50x - x^2 \] \[ x^2 - 50x + 600 = 0 \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100 \] \[ \sqrt{D} = 10 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{50 + 10}{2} = 30 \] \[ x_2 = \frac{50 - 10}{2} = 20 \] Если \(x = 30\), то \(y = 50 - 30 = 20\). Если \(x = 20\), то \(y = 50 - 20 = 30\). Таким образом, одному рабочему требуется 20 дней, а другому — 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.