Решение 2 Варианта: Квадратные Неравенства

Вариант 2 1. Решите неравенство: а) \( 4x^2 - 8x \le 0 \) Вынесем общий множитель за скобки: \( 4x(x - 2) \le 0 \) Корни уравнения \( 4x(x - 2) = 0 \): \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \) Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Отрицательные значения лежат между корнями. Ответ: \( x \in [0; 2] \) б) \( x^2 > 4 \) Перенесем все в левую часть: \( x^2 - 4 > 0 \) Разложим по формуле разности квадратов: \( (x - 2)(x + 2) > 0 \) Корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -2 \) Значения больше нуля находятся за пределами интервала между корнями. Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \) 2. Решите неравенство: а) \( x^2 - x - 30 > 0 \) Найдем корни уравнения \( x^2 - x - 30 = 0 \) через дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2 \] \[ x_1 = \frac{1 + 11}{2} = 6; \quad x_2 = \frac{1 - 11}{2} = -5 \] Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен и знак \( > \), выбираем внешние интервалы. Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (6; +\infty) \) б) \( x^2 + 12x + 80 < 0 \) Найдем дискриминант: \[ D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 144 - 320 = -176 \] Так как \( D < 0 \), парабола не пересекает ось \( Ox \) и целиком лежит выше нее (так как ветви вверх). Значений меньше нуля нет. Ответ: нет решений. 3. Решите неравенство, используя метод интервалов: а) \( (x + 11)(x - 9) < 0 \) Нули функции: \( x = -11 \) и \( x = 9 \). Расставим знаки на интервалах: \( + \) на \( (-\infty; -11) \), \( - \) на \( (-11; 9) \), \( + \) на \( (9; +\infty) \). Нам нужен интервал со знаком \( - \). Ответ: \( x \in (-11; 9) \) б) \( \frac{x + 3}{x - 8} \ge 0 \) Нули числителя: \( x = -3 \). Нули знаменателя: \( x \neq 8 \). Отметим точки на прямой (точка 8 выколота). Знаки на интервалах: \( + \) на \( (-\infty; -3] \), \( - \) на \( [-3; 8) \), \( + \) на \( (8; +\infty) \). Ответ: \( x \in (-\infty; -3] \cup (8; +\infty) \) 4. Решите неравенство: Первое: \( \frac{x^2 - 10x + 25}{-x^2 + x + 2} \ge 0 \) Числитель: \( x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 \). Он всегда \( \ge 0 \). Знаменатель: \( -x^2 + x + 2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1) \). Дробь \( \ge 0 \), если знаменатель \( > 0 \) (при условии \( x \neq 5 \)) или если числитель равен 0. \( -(x - 2)(x + 1) > 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) < 0 \Rightarrow x \in (-1; 2) \). Также проверим корень числителя: \( x = 5 \). При \( x = 5 \) выражение равно 0, что удовлетворяет знаку \( \ge \). Ответ: \( x \in (-1; 2) \cup \{5\} \) Второе: \( (x + 5)^2(x - 3) \le 0 \) Множитель \( (x + 5)^2 \) всегда \( \ge 0 \). Неравенство верно, если \( x - 3 \le 0 \) или если \( (x + 5)^2 = 0 \). \( x \le 3 \) и \( x = -5 \). Точка \( -5 \) уже входит в луч \( x \le 3 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 3] \) 5. Найдите область определения функции \( y = \sqrt{x(x - 5,6)(0,2 - x)} \) Под коренное выражение должно быть не отрицательным: \( x(x - 5,6)(0,2 - x) \ge 0 \) Умножим на \( -1 \), поменяв знак неравенства: \( x(x - 5,6)(x - 0,2) \le 0 \) Нули: \( 0; 0,2; 5,6 \). Методом интервалов определяем знаки: \( - \) на \( (-\infty; 0] \), \( + \) на \( [0; 0,2] \), \( - \) на \( [0,2; 5,6] \), \( + \) на \( [5,6; +\infty) \). Нам нужны интервалы со знаком \( - \). Ответ: \( D(y) = (-\infty; 0] \cup [0,2; 5,6] \)