Решение уравнений через теорему Виета: Вариант 2

Вариант 2 Задание 1. Решите уравнение \( 6x^2 + 18x = 0 \). Решение: Вынесем общий множитель \( 6x \) за скобки: \[ 6x(x + 3) = 0 \] 1) \( 6x = 0 \Rightarrow x_1 = 0 \) 2) \( x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3 \) Ответ: \( -3; 0 \). Задание 2. Решите уравнение \( 4x^2 - 9 = 0 \). Решение: \[ 4x^2 = 9 \] \[ x^2 = \frac{9}{4} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \] \[ x_1 = 1,5; \quad x_2 = -1,5 \] Ответ: \( \pm 1,5 \). Задание 3. Решите уравнение \( x^2 - 8x + 7 = 0 \) через теорему Виета. Решение: По теореме Виета для уравнения вида \( x^2 + px + q = 0 \): \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases} \] Для нашего уравнения: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 7 \end{cases} \] Методом подбора находим целые числа: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = 7 \] Ответ: \( 1; 7 \). Задание 4. Решите уравнение \( 3x^2 + 5x + 6 = 0 \). Решение: Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 25 - 72 = -47 \] Так как \( D < 0 \), действительных корней нет. Ответ: корней нет. Задание 5. Один из корней уравнения \( x^2 + 11x + a = 0 \) равен 3. Найдите другой корень и коэффициент \( a \). Решение: Пусть \( x_1 = 3 \). По теореме Виета: 1) \( x_1 + x_2 = -11 \) \[ 3 + x_2 = -11 \Rightarrow x_2 = -11 - 3 = -14 \] 2) \( x_1 \cdot x_2 = a \) \[ a = 3 \cdot (-14) = -42 \] Ответ: \( x_2 = -14, a = -42 \). Задание 6. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь — 24 \( см^2 \). Найдите длины сторон. Решение: Пусть \( x \) и \( y \) — стороны прямоугольника. Периметр \( P = 2(x + y) = 22 \Rightarrow x + y = 11 \). Площадь \( S = x \cdot y = 24 \). Составим приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются \( x \) и \( y \) (по теореме, обратной теореме Виета): \[ t^2 - 11t + 24 = 0 \] Подберем корни: \[ \begin{cases} t_1 + t_2 = 11 \\ t_1 \cdot t_2 = 24 \end{cases} \Rightarrow t_1 = 3, \quad t_2 = 8 \] Значит, стороны прямоугольника равны 3 см и 8 см. Ответ: 3 см и 8 см.