Решение системы уравнений: x + y = π/2, sin x + sin y = √2

Решение системы уравнений: \[ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} \\ \sin x + \sin y = \sqrt{2} \end{cases} \] 1. Применим формулу суммы синусов для второго уравнения: \[ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \] 2. Подставим значение \( x + y = \frac{\pi}{2} \) из первого уравнения в полученное выражение: \[ 2 \sin \frac{\frac{\pi}{2}}{2} \cos \frac{x - y}{2} = \sqrt{2} \] \[ 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{x - y}{2} = \sqrt{2} \] 3. Так как \( \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), подставим это значение: \[ 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \frac{x - y}{2} = \sqrt{2} \] \[ \sqrt{2} \cos \frac{x - y}{2} = \sqrt{2} \] 4. Разделим обе части на \( \sqrt{2} \): \[ \cos \frac{x - y}{2} = 1 \] 5. Решим простейшее тригонометрическое уравнение: \[ \frac{x - y}{2} = 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} \] \[ x - y = 4\pi k \] 6. Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно \( x \) и \( y \): \[ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} \\ x - y = 4\pi k \end{cases} \] 7. Сложим уравнения: \[ 2x = \frac{\pi}{2} + 4\pi k \] \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \] 8. Вычтем из первого уравнения второе: \[ 2y = \frac{\pi}{2} - 4\pi k \] \[ y = \frac{\pi}{4} - 2\pi k \] Ответ: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \quad y = \frac{\pi}{4} - 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]