Решение уравнения 8(x-2)(x^2-1) = (4x^2-2x+1)(2x+1)

Решение: Дано уравнение: \[ 8(x-2)(x^2-1) = (4x^2-2x+1)(2x+1) \] 1. Сначала упростим правую часть уравнения. Заметим, что выражение \((4x^2-2x+1)(2x+1)\) представляет собой формулу суммы кубов: \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\), где \(a = 2x\), а \(b = 1\). \[ (2x+1)((2x)^2 - 2x \cdot 1 + 1^2) = (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1 \] 2. Теперь раскроем скобки в левой части уравнения: \[ 8(x-2)(x^2-1) = 8(x^3 - x - 2x^2 + 2) = 8x^3 - 16x^2 - 8x + 16 \] 3. Запишем полученное уравнение: \[ 8x^3 - 16x^2 - 8x + 16 = 8x^3 + 1 \] 4. Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а числа в правую. Заметим, что \(8x^3\) в обеих частях взаимно уничтожаются: \[ 8x^3 - 16x^2 - 8x - 8x^3 = 1 - 16 \] \[ -16x^2 - 8x = -15 \] 5. Приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), умножив на \(-1\): \[ 16x^2 + 8x - 15 = 0 \] 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = 8^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-15) = 64 + 960 = 1024 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32 \] 7. Находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 32}{2 \cdot 16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} = 0,75 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 32}{2 \cdot 16} = \frac{-40}{32} = -\frac{5}{4} = -1,25 \] Ответ: \(x_1 = 0,75\); \(x_2 = -1,25\).