Решение уравнения: (3y + 2)/(4y^2 + y) + (y - 3)/(16y^2 - 1) = 3/(4y - 1)

Решение уравнения: \[ \frac{3y + 2}{4y^2 + y} + \frac{y - 3}{16y^2 - 1} = \frac{3}{4y - 1} \] 1. Разложим знаменатели на множители: \( 4y^2 + y = y(4y + 1) \) \( 16y^2 - 1 = (4y - 1)(4y + 1) \) (разность квадратов) Перепишем уравнение: \[ \frac{3y + 2}{y(4y + 1)} + \frac{y - 3}{(4y - 1)(4y + 1)} = \frac{3}{4y - 1} \] 2. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатели не должны быть равны нулю: \( y \neq 0 \) \( 4y + 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -0,25 \) \( 4y - 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq 0,25 \) 3. Приведем дроби к общему знаменателю \( y(4y - 1)(4y + 1) \). Домножим каждую дробь на недостающие множители: \[ (3y + 2)(4y - 1) + (y - 3)y = 3y(4y + 1) \] 4. Раскроем скобки: \[ (12y^2 - 3y + 8y - 2) + (y^2 - 3y) = 12y^2 + 3y \] \[ 12y^2 + 5y - 2 + y^2 - 3y = 12y^2 + 3y \] 5. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные: \[ 13y^2 + 2y - 2 - 12y^2 - 3y = 0 \] \[ y^2 - y - 2 = 0 \] 6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ \sqrt{D} = 3 \] \[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] 7. Проверка по ОДЗ: Оба корня \( y = 2 \) и \( y = -1 \) не равны \( 0 \), \( 0,25 \) и \( -0,25 \). Ответ: \( y_1 = 2 \); \( y_2 = -1 \).