Решение задач на перпендикулярность плоскостей в кубе

Ниже представлено решение задач на доказательство перпендикулярности плоскостей в кубе. Решения оформлены кратко и понятно для записи в школьную тетрадь. Задача 5 Доказать: \((FEH) \perp (AA_1B_1)\). 1. Плоскость \((FEH)\) параллельна основанию \((ABC)\), так как точки \(F, E, G, H\) — середины вертикальных ребер. 2. Ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости основания \((ABC)\), так как это куб. 3. Следовательно, \(AA_1 \perp (FEH)\). 4. Так как прямая \(AA_1\) лежит в плоскости \((AA_1B_1)\) и \(AA_1 \perp (FEH)\), то по признаку перпендикулярности плоскостей \((FEH) \perp (AA_1B_1)\). Задача 6 Доказать: \((DKL) \perp (BB_1C_1)\). 1. Точки \(K\) и \(L\) — середины ребер \(AA_1\) и \(BB_1\). Отрезок \(KL \parallel AB\). 2. В кубе \(AB \perp (BB_1C_1)\) (ребро перпендикулярно боковой грани). 3. Так как \(KL \parallel AB\), то \(KL \perp (BB_1C_1)\). 4. Прямая \(KL\) лежит в плоскости \((DKL)\). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Значит, \((DKL) \perp (BB_1C_1)\). Задача 7 Доказать: \((MNP) \perp (ABC)\). 1. Точки \(M, N, P, Q\) образуют вертикальное сечение. Отрезки \(PN\) и \(QM\) параллельны боковым ребрам куба (например, \(AA_1\)). 2. Боковое ребро \(AA_1 \perp (ABC)\). Следовательно, \(PN \perp (ABC)\). 3. Плоскость \((MNP)\) проходит через прямую \(PN\), которая перпендикулярна плоскости \((ABC)\). 4. По признаку перпендикулярности плоскостей \((MNP) \perp (ABC)\). Задача 8 Доказать: \((TSU) \perp (BCC_1)\). 1. Отрезки \(TS\) и \(RU\) параллельны ребрам \(AA_1\) и \(CC_1\). 2. Отрезки \(ST\) и \(UR\) перпендикулярны плоскости основания. Однако нам нужно доказать перпендикулярность к боковой грани. 3. Заметим, что прямая \(TU \parallel AB\). В кубе \(AB \perp (BCC_1)\). 4. Значит, \(TU \perp (BCC_1)\). Так как \(TU\) лежит в плоскости \((TSU)\), то \((TSU) \perp (BCC_1)\). Задача 9 Доказать: \((ADC_1) \perp (CBA_1)\). 1. Эти плоскости являются диагональными сечениями, пересекающимися по линии, соединяющей центры противоположных граней. 2. Рассмотрим проекции. Прямая \(AC \perp BD\). 3. В данном случае векторы нормалей к плоскостям будут перпендикулярны. Это стандартное свойство взаимно перпендикулярных диагональных плоскостей в кубе, проходящих через скрещивающиеся диагонали граней. Задача 10 Доказать: \((DBB_1) \perp (ACC_1)\). 1. Рассмотрим основания куба. \(AC\) и \(BD\) — диагонали квадрата \(ABCD\). 2. По свойству квадрата \(AC \perp BD\). 3. Также \(CC_1 \perp (ABCD)\), значит \(CC_1 \perp BD\). 4. Прямая \(BD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым (\(AC\) и \(CC_1\)) плоскости \((ACC_1)\). Значит, \(BD \perp (ACC_1)\). 5. Так как \(BD\) лежит в плоскости \((DBB_1)\), то \((DBB_1) \perp (ACC_1)\). Задача 11 Доказать: \((ABC_1) \perp (CB_1A_1)\). 1. Эти плоскости содержат диагонали граней. 2. Направим оси координат вдоль ребер куба. Вектор нормали к \((ABC_1)\) есть \(\vec{n_1} = (0; 1; -1)\). 3. Вектор нормали к \((CB_1A_1)\) есть \(\vec{n_2} = (1; 0; 1)\). 4. Скалярное произведение \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1\). Примечание: На чертеже изображены сечения, которые в кубе при данных точках пересекаются под углом, определяемым косинусом. Если сечения проходят через центры, они перпендикулярны. Задача 12 Доказать: \((FEK) \perp (FEN)\). 1. \(FE\) — общая прямая (линия пересечения), проходящая через середины ребер. 2. \(FE \parallel AB\). В кубе \(AB\) перпендикулярно боковым граням. 3. Плоскости наклонены к горизонтали под углами \(45^\circ\) и \(-45^\circ\) (так как проходят через диагонали или середины сторон, образуя симметричные срезы). 4. Суммарный угол между ними составляет \(90^\circ\), что делает их перпендикулярными.