Решение задачи: PE || NK, вариант 2

Вариант 2 Задача 1 Дано: \(PE \parallel NK\), \(MP = 8\), \(MN = 12\), \(ME = 6\). Найти: а) \(MK\); б) \(PE : NK\); в) \(S_{MPE} : S_{MNK}\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(MPE\) и \(MNK\). У них угол \(M\) — общий, а \(\angle MPE = \angle MNK\) как соответственные углы при \(PE \parallel NK\) и секущей \(MN\). Следовательно, \(\triangle MPE \sim \triangle MNK\) по двум углам. 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK} = \frac{PE}{NK} \] а) Найдем \(MK\): \[ \frac{8}{12} = \frac{6}{MK} \] \[ 8 \cdot MK = 12 \cdot 6 \] \[ 8 \cdot MK = 72 \] \[ MK = 9 \] б) Найдем отношение \(PE : NK\): \[ \frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \] Значит, \(PE : NK = 2 : 3\). в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия \(k\). \[ k = \frac{2}{3} \] \[ \frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \] Значит, \(S_{MPE} : S_{MNK} = 4 : 9\). Ответ: а) 9; б) 2 : 3; в) 4 : 9. Задача 2 Дано: \(\triangle ABC\): \(AB = 12\) см, \(BC = 18\) см, \(\angle B = 70^\circ\). \(\triangle MNK\): \(MN = 6\) см, \(NK = 9\) см, \(\angle N = 70^\circ\), \(MK = 7\) см, \(\angle K = 60^\circ\). Найти: \(AC\) и \(\angle C\). Решение: 1. Проверим подобие треугольников \(ABC\) и \(MNK\). Отношение сторон: \[ \frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2 \] \[ \frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2 \] Углы между этими сторонами равны: \(\angle B = \angle N = 70^\circ\). Следовательно, \(\triangle ABC \sim \triangle MNK\) по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними) с коэффициентом \(k = 2\). 2. Так как треугольники подобны, их соответствующие стороны пропорциональны, а углы равны: \[ \frac{AC}{MK} = k \Rightarrow AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см} \] \[ \angle C = \angle K = 60^\circ \] Ответ: \(AC = 14\) см, \(\angle C = 60^\circ\). Задача 3 Дано: \(AB \cap CD = O\), \(\angle ACO = \angle BDO\), \(AO : OB = 2 : 3\), \(P_{BOD} = 21\) см. Найти: \(P_{ACO}\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(ACO\) и \(BDO\). По условию \(\angle ACO = \angle BDO\). \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные углы. Следовательно, \(\triangle ACO \sim \triangle BDO\) по двум углам. 2. Коэффициент подобия \(k\) равен отношению соответствующих сторон: \[ k = \frac{AO}{OB} = \frac{2}{3} \] 3. Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: \[ \frac{P_{ACO}}{P_{BOD}} = k \] \[ \frac{P_{ACO}}{21} = \frac{2}{3} \] \[ 3 \cdot P_{ACO} = 2 \cdot 21 \] \[ 3 \cdot P_{ACO} = 42 \] \[ P_{ACO} = 14 \text{ см} \] Ответ: 14 см.