Решение задач по геометрии. Вариант 1

Самостоятельная работа. Вариант 1. Задача 1. Дано: \(a = 27\) \(h = 11\) Найти: \(S\) Решение: Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\] Подставим значения: \[S = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 11 = \frac{297}{2} = 148,5\] Ответ: 148,5. Задача 2. Дано: \(S = 80\) кв. см \(a = 5\) см Найти: \(h\) Решение: Из формулы площади \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\) выразим высоту: \[h = \frac{2S}{a}\] Подставим значения: \[h = \frac{2 \cdot 80}{5} = \frac{160}{5} = 32 \text{ см}\] Ответ: 32 см. Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 60^{\circ}\), \(AC = 5\), \(BC = 3\) Найти: \(AB\) Решение: По теореме косинусов: \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\] \[AB^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 60^{\circ}\] \[AB^2 = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2}\] \[AB^2 = 34 - 15 = 19\] \[AB = \sqrt{19}\] Ответ: \(\sqrt{19}\). Задача 4. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 135^{\circ}\), \(AB = 3\sqrt{2}\), \(BC = 4\) Найти: \(\angle A\) и \(\angle B\) Решение: По теореме синусов: \[\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}\] \[\frac{3\sqrt{2}}{\sin 135^{\circ}} = \frac{4}{\sin A}\] Так как \(\sin 135^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\): \[\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sin A} \Rightarrow 6 = \frac{4}{\sin A} \Rightarrow \sin A = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\] \[\angle A = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\] Сумма углов треугольника \(180^{\circ}\): \[\angle B = 180^{\circ} - 135^{\circ} - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) = 45^{\circ} - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right)\] Ответ: \(\angle A = \arcsin(2/3)\), \(\angle B = 45^{\circ} - \arcsin(2/3)\). Задача 5. Дано: Параллелограмм \(ABCD\), \(\angle A = 30^{\circ}\), \(AB = 2\sqrt{3}\), \(BC = 5\) Найти скалярное произведение: а) \(\vec{AD} \cdot \vec{AB}\) В параллелограмме \(AD = BC = 5\). Угол между векторами \(\angle A = 30^{\circ}\). \[\vec{AD} \cdot \vec{AB} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB}| \cdot \cos 30^{\circ} = 5 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \cdot 3 = 15\] б) \(\vec{BA} \cdot \vec{BC}\) Угол \(\angle B = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}\). \[\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos 150^{\circ} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -5 \cdot 3 = -15\] в) \(\vec{AD} \cdot \vec{BH}\) Где \(BH\) — высота к \(AD\). Вектор высоты перпендикулярен стороне \(AD\), значит угол между ними \(90^{\circ}\). \[\vec{AD} \cdot \vec{BH} = |\vec{AD}| \cdot |\vec{BH}| \cdot \cos 90^{\circ} = 5 \cdot |\vec{BH}| \cdot 0 = 0\] Ответ: а) 15; б) -15; в) 0. Задача 6. Дано: \(\vec{m} \{3; -2\}\), \(\vec{n} \{-2; 3\}\) Найти: \(\vec{m} \cdot \vec{n}\) Решение: Скалярное произведение векторов в координатах: \[\vec{m} \cdot \vec{n} = x_1 x_2 + y_1 y_2\] \[\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 3 = -6 - 6 = -12\] Ответ: -12.