Решение задачи: Площадь боковой поверхности цилиндра и сечение

Вариант 1 Задача 1 Дано: Развёртка боковой поверхности — квадрат. \(d = 10\) см (диагональ квадрата). Найти: \(S_{бок}\) — ? Решение: 1. Развёртка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, в данном случае — квадрат. Площадь этого квадрата и есть площадь боковой поверхности цилиндра. 2. Площадь квадрата через его диагональ вычисляется по формуле: \[S = \frac{d^2}{2}\] 3. Подставим значение диагонали: \[S_{бок} = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ (см}^2)\] Ответ: \(50 \text{ см}^2\). Задача 2 Дано: \(h = 5\) см (высота цилиндра). \(R = 2\sqrt{3}\) см (радиус основания). \(\alpha = 120^\circ\) (градусная мера дуги, которую отсекает плоскость). Найти: \(S_{сеч}\) — ? Решение: 1. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра \(h = 5\) см. Вторая сторона (обозначим её \(a\)) является хордой основания, стягивающей дугу в \(120^\circ\). 2. Длину хорды \(a\) можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, по теореме косинусов или через синус половинного угла: \[a = 2R \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\] 3. Подставим значения: \[a = 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ (см)}\] 4. Площадь сечения (прямоугольника) равна произведению его сторон: \[S_{сеч} = a \cdot h\] \[S_{сеч} = 6 \cdot 5 = 30 \text{ (см}^2)\] Ответ: \(30 \text{ см}^2\).