Решение задачи 35: Плоскопараллельная пластина

Задача №35 Дано: \( \alpha = 60^{\circ} \) \( n = 1,5 \) \( d = 1 \text{ см} \) Найти: \( H \) — ? Решение: При прохождении плоскопараллельной пластинки луч смещается параллельно самому себе. Смещение \( d \) выражается формулой: \[ d = H \cdot \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \beta} \] где \( \alpha \) — угол падения, \( \beta \) — угол преломления. 1. Найдем угол преломления \( \beta \) из закона Снеллиуса: \[ \sin \alpha = n \cdot \sin \beta \implies \sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n} \] \[ \sin \beta = \frac{\sin 60^{\circ}}{1,5} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 1,5} = \frac{1,732}{3} \approx 0,577 \] \[ \beta = \arcsin(0,577) \approx 35,2^{\circ} \] 2. Найдем косинус угла преломления: \[ \cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - 0,577^2} \approx \sqrt{1 - 0,333} = \sqrt{0,667} \approx 0,817 \] 3. Вычислим синус разности углов: \[ \sin(\alpha - \beta) = \sin(60^{\circ} - 35,2^{\circ}) = \sin(24,8^{\circ}) \approx 0,419 \] 4. Выразим и вычислим толщину пластинки \( H \): \[ H = \frac{d \cdot \cos \beta}{\sin(\alpha - \beta)} \] \[ H = \frac{1 \cdot 0,817}{0,419} \approx 1,95 \text{ см} \] Ответ: \( H \approx 1,95 \text{ см} \). Задача №36 Дано: Призма равносторонняя (\( \Phi = 60^{\circ} \)) Луч параллелен основанию. Найти: \( n \) — ? (условие полного внутреннего отражения на второй грани) Решение: 1. Если луч падает параллельно основанию равносторонней призмы, то угол падения на первую грань \( \alpha_1 \) составляет \( 30^{\circ} \) (так как угол при основании \( 60^{\circ} \), а нормаль перпендикулярна грани). \[ \alpha_1 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \] 2. Найдем угол преломления на первой грани \( \beta_1 \): \[ \sin \alpha_1 = n \cdot \sin \beta_1 \implies \sin \beta_1 = \frac{\sin 30^{\circ}}{n} = \frac{1}{2n} \] 3. Угол падения на вторую грань \( \alpha_2 \) связан с преломляющим углом призмы \( \Phi \): \[ \beta_1 + \alpha_2 = \Phi \implies \alpha_2 = 60^{\circ} - \beta_1 \] 4. Условие полного внутреннего отражения на второй грани: \[ \sin \alpha_2 \ge \frac{1}{n} \] \[ \sin(60^{\circ} - \beta_1) \ge \frac{1}{n} \] \[ \sin 60^{\circ} \cos \beta_1 - \cos 60^{\circ} \sin \beta_1 \ge \frac{1}{n} \] 5. Подставим \( \sin \beta_1 = \frac{1}{2n} \) и \( \cos \beta_1 = \sqrt{1 - \frac{1}{4n^2}} = \frac{\sqrt{4n^2 - 1}}{2n} \): \[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{4n^2 - 1}}{2n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2n} \ge \frac{1}{n} \] Умножим всё на \( 4n \): \[ \sqrt{3} \cdot \sqrt{4n^2 - 1} - 1 \ge 4 \] \[ \sqrt{3(4n^2 - 1)} \ge 5 \] Возведем в квадрат: \[ 3(4n^2 - 1) \ge 25 \] \[ 12n^2 - 3 \ge 25 \implies 12n^2 \ge 28 \implies n^2 \ge \frac{28}{12} = \frac{7}{3} \] \[ n \ge \sqrt{\frac{7}{3}} \approx 1,528 \] Ответ: \( n \ge 1,53 \).