Решение задачи 1: Дано, Доказательство (Вариант 2)

Вариант 2 Задача 1 Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (\( AB = BC \)); \( M \) — середина \( AC \); \( MO \perp BM \). Доказать: \( BM \perp (AOC) \). Доказательство: 1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Так как по условию \( AB = BC \), то треугольник является равнобедренным с основанием \( AC \). 2. Точка \( M \) — середина \( AC \), следовательно, \( BM \) является медианой треугольника \( ABC \), проведенной к основанию. 3. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Значит, \( BM \perp AC \). 4. По условию задачи прямая \( MO \) перпендикулярна прямой \( BM \), то есть \( BM \perp MO \). 5. Таким образом, прямая \( BM \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( AC \) и \( MO \), лежащим в плоскости \( AOC \) (\( AC \subset (AOC) \) и \( MO \subset (AOC) \)). 6. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, \( BM \perp (AOC) \). Что и требовалось доказать.