Задача: Найти сторону правильного треугольника

Задача 2 Дано: \( \triangle ABC \) — правильный; \( KA = KB = KC = 4 \) см; \( KH \perp (ABC) \), где \( H \) — проекция точки \( K \) на плоскость; \( KH = 2 \) см (расстояние от точки \( K \) до плоскости). Найти: Сторону треугольника \( a \). Решение: 1. Так как точка \( K \) равноудалена от всех вершин правильного треугольника \( ABC \), то её проекция \( H \) на плоскость треугольника является центром описанной около треугольника окружности. 2. Отрезок \( AH \) является радиусом \( R \) описанной окружности для \( \triangle ABC \). 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AHK \) (угол \( H = 90^\circ \), так как \( KH \) — перпендикуляр к плоскости). По теореме Пифагора: \[ AH^2 + KH^2 = AK^2 \] \[ R^2 + 2^2 = 4^2 \] \[ R^2 + 4 = 16 \] \[ R^2 = 12 \] \[ R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см} \] 4. Радиус описанной окружности правильного треугольника выражается через его сторону \( a \) по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] 5. Подставим найденное значение \( R \) в формулу: \[ 2\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}} \] \[ a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \] \[ a = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см} \] Ответ: сторона треугольника равна 6 см.