Решение задачи: расстояние от точки P до прямой CD

Задача 3 Дано: \( ABCD \) — прямоугольник; \( AP \perp (ABC) \); \( BC = 12 \) см; \( BD = 13 \) см; Расстояние от \( P \) до \( BC \) равно \( \sqrt{106} \) см. Найти: Расстояние от точки \( P \) до прямой \( CD \). Решение: 1. Рассмотрим прямоугольник \( ABCD \). В нем \( AD = BC = 12 \) см. Из прямоугольного \( \triangle BCD \) по теореме Пифагора найдем сторону \( CD \): \[ CD = \sqrt{BD^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см} \] Так как это прямоугольник, то \( AB = CD = 5 \) см. 2. Найдем длину перпендикуляра \( AP \). Расстоянием от точки \( P \) до прямой \( BC \) является отрезок \( PB \), так как \( AP \perp (ABC) \) и \( AB \perp BC \) (по теореме о трех перпендикулярах). В прямоугольном \( \triangle PAB \) (\( \angle A = 90^\circ \)): \[ PB^2 = AP^2 + AB^2 \] \[ (\sqrt{106})^2 = AP^2 + 5^2 \] \[ 106 = AP^2 + 25 \] \[ AP^2 = 106 - 25 = 81 \] \[ AP = 9 \text{ см} \] 3. Найдем расстояние от точки \( P \) до прямой \( CD \). Этим расстоянием является отрезок \( PD \), так как \( AP \perp (ABC) \) и \( AD \perp CD \) (по теореме о трех перпендикулярах). В прямоугольном \( \triangle PAD \) (\( \angle A = 90^\circ \)): \[ PD = \sqrt{AP^2 + AD^2} \] \[ PD = \sqrt{9^2 + 12^2} \] \[ PD = \sqrt{81 + 144} \] \[ PD = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \] Ответ: расстояние от точки \( P \) до прямой \( CD \) равно 15 см.