Решение задачи 11.23

Задача 11.23 Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle ACB = 90^\circ \). Катеты: \( AC = 6 \) см, \( BC = 8 \) см. Точка \( D \) находится вне плоскости \( ABC \). \( DA = DB = DC = 13 \) см. Найти: расстояние от точки \( D \) до плоскости \( ABC \) (высоту \( DO \)). Решение: 1. Пусть \( DO \) — перпендикуляр, опущенный из точки \( D \) на плоскость \( ABC \). Тогда \( O \) — проекция точки \( D \) на плоскость. Так как наклонные \( DA \), \( DB \) и \( DC \) равны между собой, то их проекции на плоскость также равны: \( OA = OB = OC \). Следовательно, точка \( O \) является центром описанной окружности около прямоугольного треугольника \( ABC \). 2. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \] \[ AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)} \] 3. Радиус описанной окружности \( R \) равен половине гипотенузы: \[ R = OA = OB = OC = \frac{AB}{2} \] \[ R = \frac{10}{2} = 5 \text{ (см)} \] 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( DOA \) (где \( \angle DOA = 90^\circ \)). В нем гипотенуза \( DA = 13 \) см, катет \( OA = R = 5 \) см. Найдем высоту \( DO \) по теореме Пифагора: \[ DO = \sqrt{DA^2 - OA^2} \] \[ DO = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)} \] Ответ: 12 см.