Решение задачи: Контрольная работа №2 «Треугольники», Вариант 2

Контрольная работа №2 «Треугольники» Вариант 2 Задача 1. Дано: \(ME \cap PK = O\) \(MO = OE\) \(PO = OK\) Доказать: \(\angle KMO = \angle PEO\) Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(MOK\) и \(EOP\). 2. По условию \(MO = OE\) и \(KO = OP\). 3. \(\angle MOK = \angle EOP\) как вертикальные углы. 4. Следовательно, \(\triangle MOK = \triangle EOP\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 5. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Сторона \(KO\) равна стороне \(OP\), значит, углы, лежащие против них, равны: \(\angle KMO = \angle PEO\). Что и требовалось доказать. Задача 2. Дано: \(\angle D\) \(M \in\) стороне угла, \(K \in\) стороне угла \(DM = DK\) \(P\) — внутри \(\angle D\) \(PM = PK\) Доказать: \(DP\) — биссектриса \(\angle MDK\) Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(DMP\) и \(DKP\). 2. Сторона \(DM = DK\) по условию. 3. Сторона \(PM = PK\) по условию. 4. Сторона \(DP\) — общая для обоих треугольников. 5. Следовательно, \(\triangle DMP = \triangle DKP\) по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle MDP = \angle KDP\). 7. Так как луч \(DP\) делит угол \(MDK\) на два равных угла, то \(DP\) является биссектрисой. Что и требовалось доказать. Задача 3. Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный \(AB = BC\) (боковые стороны) \(AC\) — основание \(AB = AC - 3\) см \(P = 30\) см Найти: \(AC\) Решение: Пусть длина основания \(AC\) равна \(x\) см. Тогда боковая сторона \(AB = (x - 3)\) см. Так как треугольник равнобедренный, \(BC = AB = (x - 3)\) см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: \[P = AB + BC + AC\] Подставим известные значения в уравнение: \[(x - 3) + (x - 3) + x = 30\] \[3x - 6 = 30\] \[3x = 30 + 6\] \[3x = 36\] \[x = 36 : 3\] \[x = 12\] Значит, основание \(AC = 12\) см. Ответ: 12 см.