Решение: Упрощение выражений с квадратными корнями

Вариант 3 1. Упростите выражение: а) \( 6\sqrt{3} + \sqrt{27} - 3\sqrt{75} \) Разложим подкоренные выражения на множители: \( 6\sqrt{3} + \sqrt{9 \cdot 3} - 3\sqrt{25 \cdot 3} = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 3 \cdot 5\sqrt{3} = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 15\sqrt{3} = (6 + 3 - 15)\sqrt{3} = -6\sqrt{3} \) Ответ: \( -6\sqrt{3} \) б) \( (\sqrt{50} - 2\sqrt{2})\sqrt{2} \) Раскроем скобки: \( \sqrt{50} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{100} - 2 \cdot 2 = 10 - 4 = 6 \) Ответ: 6 в) \( (2 - \sqrt{3})^2 \) Воспользуемся формулой квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \( 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} \) Ответ: \( 7 - 4\sqrt{3} \) 2. Сравните: \( \frac{1}{2}\sqrt{12} \) и \( \frac{1}{3}\sqrt{45} \) Внесем множители под знак корня: \( \frac{1}{2}\sqrt{12} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 12} = \sqrt{3} \) \( \frac{1}{3}\sqrt{45} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 45} = \sqrt{5} \) Так как \( 3 < 5 \), то \( \sqrt{3} < \sqrt{5} \). Следовательно: \( \frac{1}{2}\sqrt{12} < \frac{1}{3}\sqrt{45} \) 3. Сократите дробь: а) \( \frac{\sqrt{3} - 3}{\sqrt{5} - \sqrt{15}} \) Вынесем общие множители в числителе и знаменателе: \( \frac{\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{\sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \) или \( \frac{\sqrt{15}}{5} \) б) \( \frac{a - 2\sqrt{a}}{3\sqrt{a} - 6} \) Вынесем \( \sqrt{a} \) в числителе и 3 в знаменателе: \( \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)}{3(\sqrt{a} - 2)} = \frac{\sqrt{a}}{3} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{a}}{3} \) 4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе: а) \( \frac{5}{3\sqrt{10}} \) Домножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{10} \): \( \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{3\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{3 \cdot 10} = \frac{5\sqrt{10}}{30} = \frac{\sqrt{10}}{6} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{10}}{6} \) б) \( \frac{8}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \) Домножим на сопряженное выражение \( (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \): \( \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{8(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \) Ответ: \( 2\sqrt{6} - 2\sqrt{2} \) 5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное: \( \frac{1}{2\sqrt{7} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{7} + 1} \) Приведем к общему знаменателю: \( \frac{(2\sqrt{7} + 1) - (2\sqrt{7} - 1)}{(2\sqrt{7} - 1)(2\sqrt{7} + 1)} = \frac{2\sqrt{7} + 1 - 2\sqrt{7} + 1}{(2\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{2}{4 \cdot 7 - 1} = \frac{2}{28 - 1} = \frac{2}{27} \) Число \( \frac{2}{27} \) является рациональным, так как оно представимо в виде дроби \( \frac{p}{q} \), где p и q — целые числа. Что и требовалось доказать.