Решение задачи: нормальное распределение, Вариант №2

Вариант № 2 Задача 1 Условие: Плотность нормального распределения системы двух случайных величин \( (X, Y) \) имеет вид: \[ f(x, y) = A e^{-\left[ \frac{(x-2)^2}{8} + \frac{(y+5)^2}{2} \right]} \] Найти коэффициент \( A \) и характеристики распределения. Решение: Общий вид плотности двумерного нормального распределения для независимых величин \( X \) и \( Y \) (так как в экспоненте нет произведения \( xy \), корреляция \( r = 0 \)): \[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_x \sigma_y} e^{-\left[ \frac{(x-m_x)^2}{2\sigma_x^2} + \frac{(y-m_y)^2}{2\sigma_y^2} \right]} \] 1. Сравним показатели экспоненты: Для \( X \): \( 2\sigma_x^2 = 8 \Rightarrow \sigma_x^2 = 4 \Rightarrow \sigma_x = 2 \). Для \( Y \): \( 2\sigma_y^2 = 2 \Rightarrow \sigma_y^2 = 1 \Rightarrow \sigma_y = 1 \). 2. Найдем математические ожидания из числителей: \( x - m_x = x - 2 \Rightarrow m_x = 2 \). \( y - m_y = y + 5 \Rightarrow m_y = -5 \). 3. Найдем коэффициент \( A \): \[ A = \frac{1}{2\pi \sigma_x \sigma_y} = \frac{1}{2\pi \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1}{4\pi} \approx 0,0796 \] Характеристики распределения: Математические ожидания: \( m_x = 2 \), \( m_y = -5 \). Среднеквадратические отклонения: \( \sigma_x = 2 \), \( \sigma_y = 1 \). Коэффициент корреляции: \( r_{xy} = 0 \) (величины независимы). График плотности представляет собой "колокол" (гауссоиду) в трехмерном пространстве с вершиной в точке \( (2; -5; A) \). Линии уровня на плоскости \( OXY \) — это эллипсы с центром в \( (2; -5) \). Задача 2 Условие: Рассеивание снарядов характеризуется \( \sigma_x = 2 \) м, \( \sigma_y = 3 \) м. Определить размеры эллипса рассеивания, вероятность попадания в который равна 0,9. Решение: Для двумерного нормального распределения вероятность попадания в эллипс рассеивания \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = k^2 \) (где \( a = \sigma_x \), \( b = \sigma_y \)) выражается формулой: \[ P = 1 - e^{-\frac{k^2}{2}} \] 1. Найдем коэффициент \( k \) для вероятности \( P = 0,9 \): \[ 0,9 = 1 - e^{-\frac{k^2}{2}} \] \[ e^{-\frac{k^2}{2}} = 0,1 \] \[ -\frac{k^2}{2} = \ln(0,1) \] \[ k^2 = -2 \cdot \ln(0,1) \approx -2 \cdot (-2,3026) = 4,6052 \] \[ k = \sqrt{4,6052} \approx 2,146 \] 2. Определим полуоси эллипса: Полуось по \( X \): \( L_x = k \cdot \sigma_x = 2,146 \cdot 2 = 4,292 \) м. Полуось по \( Y \): \( L_y = k \cdot \sigma_y = 2,146 \cdot 3 = 6,438 \) м. Ответ: Размеры эллипса (полуоси) составляют примерно 4,29 м и 6,44 м. Для изображения на рисунке: начертите оси \( X \) и \( Y \), отметьте на оси \( X \) точки \( \pm 4,29 \), на оси \( Y \) точки \( \pm 6,44 \) и соедините их плавной линией эллипса. Центр эллипса находится в начале координат (точке прицеливания).