Решение задачи Résoudre: нормальное распределение

Вариант № 21 Задача 1 Условие: Написать выражение плотности нормального распределения системы двух случайных величин \( (X, Y) \), если \( M[X] = -4 \), \( M[Y] = 2 \) и корреляционная матрица имеет вид: \[ K_{xy} = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 6 & 25 \end{pmatrix} \] Решение: 1. Из корреляционной матрицы (матрицы ковариаций) находим дисперсии и ковариацию: Дисперсия \( X \): \( \sigma_x^2 = 9 \Rightarrow \sigma_x = 3 \). Дисперсия \( Y \): \( \sigma_y^2 = 25 \Rightarrow \sigma_y = 5 \). Ковариация: \( K_{xy} = 6 \). 2. Вычислим коэффициент корреляции \( r \): \[ r = \frac{K_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{6}{3 \cdot 5} = \frac{6}{15} = 0,4 \] 3. Общая формула плотности двумерного нормального распределения: \[ f(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_x \sigma_y \sqrt{1-r^2}} \exp \left( -\frac{1}{2(1-r^2)} \left[ \frac{(x-m_x)^2}{\sigma_x^2} - \frac{2r(x-m_x)(y-m_y)}{\sigma_x \sigma_y} + \frac{(y-m_y)^2}{\sigma_y^2} \right] \right) \] 4. Подставим значения: \( m_x = -4 \), \( m_y = 2 \), \( \sigma_x^2 = 9 \), \( \sigma_y^2 = 25 \), \( r = 0,4 \), \( r^2 = 0,16 \). Множитель перед экспонентой: \[ \frac{1}{2\pi \cdot 3 \cdot 5 \sqrt{1-0,16}} = \frac{1}{30\pi \sqrt{0,84}} \approx \frac{1}{30\pi \cdot 0,9165} \approx 0,0116 \] Коэффициент в экспоненте: \[ \frac{1}{2(1-0,16)} = \frac{1}{1,68} \] Итоговое выражение: \[ f(x, y) = \frac{1}{30\pi \sqrt{0,84}} \exp \left( -\frac{1}{1,68} \left[ \frac{(x+4)^2}{9} - \frac{0,8(x+4)(y-2)}{15} + \frac{(y-2)^2}{25} \right] \right) \] Задача 2 Условие: Цель — прямоугольник \( 50 \times 30 \) м. Центр прицеливания совпадает с центром цели. Срединные отклонения \( E_x = 25 \) м, \( E_y = 10 \) м. Определить вероятность попадания. Решение: 1. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами \( 2a \) и \( 2b \) при независимых отклонениях (по умолчанию в таких задачах оси рассеивания совпадают с осями цели) вычисляется как: \[ P = P(|X| < a) \cdot P(|Y| < b) \] Здесь \( 2a = 50 \Rightarrow a = 25 \) м; \( 2b = 30 \Rightarrow b = 15 \) м. 2. Связь срединного отклонения \( E \) и вероятности попадания в интервал задается формулой через функцию Лапласа или через специальную формулу для срединных отклонений: \[ P(|X| < a) = \Phi \left( \frac{a \cdot \rho}{E_x} \right) \text{, где } \rho \approx 0,4769 \text{ (для функции Лапласа в форме интеграла вероятности)} \] Однако в отечественной учебной литературе чаще используют табулированную функцию \( P = \mathcal{P} \left( \frac{a}{E} \right) \). Формула вероятности через срединное отклонение: \[ P(|X| < a) = 2\Phi_0 \left( 0,4769 \frac{a}{E_x} \right) \] 3. Вычислим аргументы: Для \( X \): \( \frac{a}{E_x} = \frac{25}{25} = 1 \). Для \( Y \): \( \frac{b}{E_y} = \frac{15}{10} = 1,5 \). 4. Используем значения вероятности попадания в интервал \( \pm k \cdot E \): При \( k = 1 \), \( P_x = 0,5 \) (по определению срединного отклонения, в интервал \( \pm E \) попадает ровно 50% снарядов). При \( k = 1,5 \), по таблицам функции вероятности для срединных отклонений: \( P_y \approx 0,688 \) (или вычисляя через функцию Лапласа: \( 2\Phi_0(0,4769 \cdot 1,5) = 2\Phi_0(0,715) \approx 0,688 \)). 5. Находим общую вероятность: \[ P = P_x \cdot P_y = 0,5 \cdot 0,688 = 0,344 \] Ответ: Вероятность попадания бомбы в цель составляет 0,344 (или 34,4%).