Решение: Практическая работа "Испытания Бернулли". Вариант 1

Практическая работа "Испытания Бернулли". Вариант 1 Для решения всех задач воспользуемся формулой Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( n \) — общее число испытаний, \( k \) — число успехов, \( p \) — вероятность успеха в одном испытании, \( q = 1 - p \) — вероятность неудачи. Число сочетаний вычисляется по формуле: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Задача 1. Дано: \( n = 8 \) (монету бросают 8 раз) \( k = 3 \) (герб должен выпасть 3 раза) \( p = 0,5 \) (вероятность выпадения герба) \( q = 1 - 0,5 = 0,5 \) Решение: 1) Находим число сочетаний: \[ C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \] 2) Вычисляем вероятность: \[ P_8(3) = 56 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^{8-3} = 56 \cdot (0,5)^8 \] \[ P_8(3) = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} = 0,21875 \] Ответ: 0,21875. Задача 2. Дано: \( n = 6 \) (всего детей) \( k = 2 \) (два мальчика) \( p = 0,51 \) (вероятность рождения мальчика) \( q = 1 - 0,51 = 0,49 \) (вероятность рождения девочки) Решение: 1) Находим число сочетаний: \[ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \] 2) Вычисляем вероятность: \[ P_6(2) = 15 \cdot (0,51)^2 \cdot (0,49)^4 \] \[ P_6(2) \approx 15 \cdot 0,2601 \cdot 0,057648 \approx 0,2249 \] Ответ: \(\approx 0,2249\). Задача 3. Дано: \( n = 12 \) (число испытаний) \( k = 8 \) (событие происходит 8 раз) \( p = 0,4 \) (вероятность успеха) \( q = 1 - 0,4 = 0,6 \) Решение: 1) Находим число сочетаний: \[ C_{12}^8 = C_{12}^4 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495 \] 2) Вычисляем вероятность: \[ P_{12}(8) = 495 \cdot (0,4)^8 \cdot (0,6)^4 \] \[ P_{12}(8) \approx 495 \cdot 0,00065536 \cdot 0,1296 \approx 0,0420 \] Ответ: \(\approx 0,0420\).