Решение задачи 12: Обмен книгами

Задача 12. У одного школьника 7 книг, у другого — 16. Сколькими способами они могут обменять книгу на книгу? Две книги на две книги? Решение: 1) Обмен «книга на книгу». Первый школьник может выбрать любую из своих 7 книг, а второй — любую из своих 16 книг. По правилу произведения общее число способов равно: \[ N_1 = 7 \cdot 16 = 112 \] 2) Обмен «две книги на две книги». Первый школьник выбирает 2 книги из 7. Число способов равно числу сочетаний из 7 по 2: \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \] Второй школьник выбирает 2 книги из 16. Число способов равно числу сочетаний из 16 по 2: \[ C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 120 \] Общее число способов обмена: \[ N_2 = C_7^2 \cdot C_{16}^2 = 21 \cdot 120 = 2520 \] Ответ: 112 способов; 2520 способов. Задача 13. В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было: а) 5 черных; б) 3 белых и 2 черных? Решение: а) Выбираем 5 черных шаров из 8 имеющихся: \[ N_a = C_8^5 = C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 \] б) Выбираем 3 белых шара из 12 и 2 черных шара из 8: \[ N_б = C_{12}^3 \cdot C_8^2 \] Вычислим каждое значение: \[ C_{12}^3 = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220 \] \[ C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \] Итого: \[ N_б = 220 \cdot 28 = 6160 \] Ответ: а) 56; б) 6160. Задача 14. Сколькими способами можно распределить 15 выпускников по трем районам, если в одном из них имеется 8, в другом — 5 и в третьем — 2 вакантных места? Решение: Сначала выберем 8 человек из 15 для первого района. Затем из оставшихся 7 человек выберем 5 для второго района. Оставшиеся 2 человека автоматически отправятся в третий район. \[ N = C_{15}^8 \cdot C_7^5 \cdot C_2^2 \] Вычислим: \[ C_{15}^8 = C_{15}^7 = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6435 \] \[ C_7^5 = C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \] \[ C_2^2 = 1 \] Общее число способов: \[ N = 6435 \cdot 21 \cdot 1 = 135135 \] Ответ: 135135 способов.