Решение: Практическая работа "Испытания Бернулли". Вариант 1

Практическая работа "Испытания Бернулли". Вариант 1. Для решения данных задач используется формула Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: \( n \) — общее количество испытаний; \( k \) — количество успехов; \( p \) — вероятность успеха в одном испытании; \( q = 1 - p \) — вероятность неудачи; \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний. Задача 1. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно 3 раза. Дано: \( n = 8 \) \( k = 3 \) \( p = 0,5 \) (вероятность выпадения герба при одном броске) \( q = 1 - 0,5 = 0,5 \) Решение: 1. Вычислим число сочетаний: \[ C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56 \] 2. Подставим значения в формулу Бернулли: \[ P_8(3) = 56 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^{8-3} = 56 \cdot (0,5)^8 \] \[ (0,5)^8 = \frac{1}{256} \] \[ P_8(3) = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} = 0,21875 \] Ответ: 0,21875. Задача 2. В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. Дано: \( n = 6 \) \( k = 2 \) \( p = 0,51 \) \( q = 1 - 0,51 = 0,49 \) Решение: 1. Вычислим число сочетаний: \[ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6}{1 \cdot 2} = 15 \] 2. Подставим значения в формулу Бернулли: \[ P_6(2) = 15 \cdot (0,51)^2 \cdot (0,49)^{6-2} = 15 \cdot (0,51)^2 \cdot (0,49)^4 \] 3. Произведем расчеты: \[ (0,51)^2 = 0,2601 \] \[ (0,49)^4 \approx 0,05764801 \] \[ P_6(2) \approx 15 \cdot 0,2601 \cdot 0,05764801 \approx 0,224912... \] Округлим результат до тысячных. \[ P_6(2) \approx 0,225 \] Ответ: 0,225.