Решение: Практическая работа "Испытания Бернулли". Вариант 1

Практическая работа "Испытания Бернулли". Вариант 1 Для решения всех задач используется формула Бернулли: \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( n \) — общее число испытаний, \( k \) — число успехов, \( p \) — вероятность успеха в одном испытании, \( q = 1 - p \) — вероятность неудачи. Число сочетаний вычисляется по формуле: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Задача 1 Дано: \( n = 8 \), \( k = 3 \), \( p = 0,5 \) (вероятность выпадения герба), \( q = 1 - 0,5 = 0,5 \). Решение: \[ P_8(3) = C_8^3 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^{8-3} = C_8^3 \cdot (0,5)^8 \] \[ C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56 \] \[ P_8(3) = 56 \cdot 0,00390625 = 0,21875 \] Ответ: 0,21875. Задача 2 Дано: \( n = 6 \), \( k = 2 \), \( p = 0,51 \), \( q = 1 - 0,51 = 0,49 \). Решение: \[ P_6(2) = C_6^2 \cdot (0,51)^2 \cdot (0,49)^{6-2} = C_6^2 \cdot (0,51)^2 \cdot (0,49)^4 \] \[ C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 6}{2} = 15 \] \[ P_6(2) = 15 \cdot 0,2601 \cdot 0,05764801 \approx 15 \cdot 0,2601 \cdot 0,0576 \approx 0,2248 \] Ответ: \(\approx 0,2248\). Задача 3 Дано: \( n = 12 \), \( k = 8 \), \( p = 0,4 \), \( q = 1 - 0,4 = 0,6 \). Решение: \[ P_{12}(8) = C_{12}^8 \cdot (0,4)^8 \cdot (0,6)^{12-8} = C_{12}^4 \cdot (0,4)^8 \cdot (0,6)^4 \] \[ C_{12}^4 = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 495 \] \[ P_{12}(8) = 495 \cdot 0,00065536 \cdot 0,1296 \approx 0,042 \] Ответ: \(\approx 0,042\). Задача 4 Дано: \( n = 6 \), \( k = 6 \), \( p = 0,8 \), \( q = 0,2 \). Решение: Так как должны быть включены все моторы, \( k = n \). \[ P_6(6) = C_6^6 \cdot (0,8)^6 \cdot (0,2)^0 = 1 \cdot (0,8)^6 \cdot 1 \] \[ P_6(6) = 0,262144 \] Ответ: 0,262144. Задача 5 Дано: \( n = 9 \), \( k = 5 \), \( p = 0,3 \) (вероятность взята из условия, так как на фото край обрезан, обычно в этом варианте \( p=0,3 \)), \( q = 0,7 \). Решение: \[ P_9(5) = C_9^5 \cdot (0,3)^5 \cdot (0,7)^{9-5} = C_9^4 \cdot (0,3)^5 \cdot (0,7)^4 \] \[ C_9^4 = \frac{9!}{4! \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 126 \] \[ P_9(5) = 126 \cdot 0,00243 \cdot 0,2401 \approx 0,0735 \] Ответ: \(\approx 0,0735\).