Решение логарифмических уравнений с ОДЗ. Вариант 1

Вариант 1 Задание 1. Решите уравнение: \(\log_{3}(5x - 2) = 2\) Решение: ОДЗ: \(5x - 2 > 0 \Rightarrow 5x > 2 \Rightarrow x > 0,4\) По определению логарифма: \[5x - 2 = 3^2\] \[5x - 2 = 9\] \[5x = 11\] \[x = 2,2\] Число 2,2 входит в ОДЗ. Ответ: 2,2. Задание 2. Решите уравнение: \(\log_{2}(x + 1) + \log_{2}(x + 3) = 3\) Решение: ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > -3 \end{cases} \Rightarrow x > -1\] Используем свойство суммы логарифмов: \[\log_{2}((x + 1)(x + 3)) = 3\] \[(x + 1)(x + 3) = 2^3\] \[x^2 + 3x + x + 3 = 8\] \[x^2 + 4x - 5 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = 1\] \[x_2 = -5\] Проверка по ОДЗ: \(x = 1 > -1\) (подходит) \(x = -5 < -1\) (не подходит) Ответ: 1. Задание 3. Решите уравнение: \(\log_{2}(x) = \log_{4}(3x - 2)\) Решение: ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0 \\ 3x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow x > \frac{2}{3}\] Приведем к одному основанию: \(\log_{4}(3x - 2) = \log_{2^2}(3x - 2) = \frac{1}{2}\log_{2}(3x - 2)\) \[\log_{2}(x) = \frac{1}{2}\log_{2}(3x - 2)\] \[2\log_{2}(x) = \log_{2}(3x - 2)\] \[\log_{2}(x^2) = \log_{2}(3x - 2)\] \[x^2 = 3x - 2\] \[x^2 - 3x + 2 = 0\] Корни уравнения: \[x_1 = 1\] \[x_2 = 2\] Оба корня больше \(\frac{2}{3}\), значит подходят. Ответ: 1; 2. Задание 4. Решите уравнение: \(\log_{0,5}(x^2 - 6x + 8) = -2\) Решение: ОДЗ: \(x^2 - 6x + 8 > 0\) По определению логарифма: \[x^2 - 6x + 8 = (0,5)^{-2}\] \[x^2 - 6x + 8 = (\frac{1}{2})^{-2}\] \[x^2 - 6x + 8 = 2^2\] \[x^2 - 6x + 8 = 4\] \[x^2 - 6x + 4 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20\] \[x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}\] Так как \(x^2 - 6x + 8 = 4\), а \(4 > 0\), то условие ОДЗ выполняется автоматически. Ответ: \(3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5}\). Задание 5. Решите уравнение: \((\lg(x+3))^2 - \lg(x+3)^3 + 2 = 0\) Решение: ОДЗ: \(x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3\) Используем свойство логарифма степени: \(\lg(x+3)^3 = 3\lg(x+3)\) \[(\lg(x+3))^2 - 3\lg(x+3) + 2 = 0\] Пусть \(t = \lg(x+3)\), тогда: \[t^2 - 3t + 2 = 0\] По теореме Виета: \[t_1 = 1, t_2 = 2\] Вернемся к замене: 1) \(\lg(x+3) = 1 \Rightarrow x + 3 = 10^1 \Rightarrow x = 7\) 2) \(\lg(x+3) = 2 \Rightarrow x + 3 = 10^2 \Rightarrow x + 3 = 100 \Rightarrow x = 97\) Оба корня больше -3. Ответ: 7; 97.