Решение логарифмических уравнений с ОДЗ. Вариант 2

Вариант 2 Задание 1. Решите уравнение: \(\log_{5}(4x + 3) = 2\) Решение: ОДЗ: \(4x + 3 > 0 \Rightarrow 4x > -3 \Rightarrow x > -0,75\) По определению логарифма: \[4x + 3 = 5^2\] \[4x + 3 = 25\] \[4x = 22\] \[x = 5,5\] Число 5,5 входит в ОДЗ. Ответ: 5,5. Задание 2. Решите уравнение: \(\log_{7}(x - 2) + \log_{7}(x + 4) = 1\) Решение: ОДЗ: \[\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > -4 \end{cases} \Rightarrow x > 2\] Используем свойство суммы логарифмов: \[\log_{7}((x - 2)(x + 4)) = 1\] \[(x - 2)(x + 4) = 7^1\] \[x^2 + 4x - 2x - 8 = 7\] \[x^2 + 2x - 15 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = 3\] \[x_2 = -5\] Проверка по ОДЗ: \(x = 3 > 2\) (подходит) \(x = -5 < 2\) (не подходит) Ответ: 3. Задание 3. Решите уравнение: \(\log_{3}(x) = \log_{9}(4x - 3)\) Решение: ОДЗ: \[\begin{cases} x > 0 \\ 4x - 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > 0,75 \end{cases} \Rightarrow x > 0,75\] Приведем к основанию 3: \(\log_{9}(4x - 3) = \log_{3^2}(4x - 3) = \frac{1}{2}\log_{3}(4x - 3)\) \[\log_{3}(x) = \frac{1}{2}\log_{3}(4x - 3)\] \[2\log_{3}(x) = \log_{3}(4x - 3)\] \[\log_{3}(x^2) = \log_{3}(4x - 3)\] \[x^2 = 4x - 3\] \[x^2 - 4x + 3 = 0\] Корни уравнения: \[x_1 = 1\] \[x_2 = 3\] Оба корня больше 0,75, значит подходят. Ответ: 1; 3. Задание 4. Решите уравнение: \(\log_{2}(x^2 - 5x + 6) = 3\) Решение: ОДЗ: \(x^2 - 5x + 6 > 0\) По определению логарифма: \[x^2 - 5x + 6 = 2^3\] \[x^2 - 5x + 6 = 8\] \[x^2 - 5x - 2 = 0\] Найдем дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 25 + 8 = 33\] \[x = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}\] Так как \(x^2 - 5x + 6 = 8\), а \(8 > 0\), то условие ОДЗ выполняется. Ответ: \(\frac{5 - \sqrt{33}}{2}; \frac{5 + \sqrt{33}}{2}\). Задание 5. Решите уравнение: \((\lg(2x - 1))^2 - 3\lg(2x - 1) + 2 = 0\) Решение: ОДЗ: \(2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0,5\) Пусть \(t = \lg(2x - 1)\), тогда: \[t^2 - 3t + 2 = 0\] Корни квадратного уравнения: \[t_1 = 1, t_2 = 2\] Вернемся к замене: 1) \(\lg(2x - 1) = 1 \Rightarrow 2x - 1 = 10^1 \Rightarrow 2x = 11 \Rightarrow x = 5,5\) 2) \(\lg(2x - 1) = 2 \Rightarrow 2x - 1 = 10^2 \Rightarrow 2x - 1 = 100 \Rightarrow 2x = 101 \Rightarrow x = 50,5\) Оба корня входят в ОДЗ. Ответ: 5,5; 50,5.