Решение задач по теории вероятностей: формула Бернулли

Ниже представлено решение задач из карточки, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Дано: \(n = 8\) (количество бросков) \(k = 2\) (количество выпадений орла) \(p = 0,5\) (вероятность выпадения орла) \(q = 0,5\) (вероятность выпадения решки) Решение: Используем формулу Бернулли: \[P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\] \[P_8(2) = C_8^2 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^6 = C_8^2 \cdot (0,5)^8\] Вычислим число сочетаний: \[C_8^2 = \frac{8!}{2! \cdot (8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\] Вычислим вероятность: \[P_8(2) = 28 \cdot \frac{1}{2^8} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}\] Ответ: 3) \( \frac{7}{64} \). Задание 2. Дано: \(n = 3\) (выстрела) \(k = 3\) (попадания) \(p = 0,8\) (вероятность попадания) Решение: Так как события независимы, вероятность того, что мишень будет поражена трижды, равна произведению вероятностей каждого попадания: \[P = p \cdot p \cdot p = p^3\] \[P = 0,8^3 = 0,512\] Ответ: 1) 0,512. Задание 3. Дано: \(p_1 = 0,8\) (вероятность попадания первого стрелка) \(p_2 = 0,6\) (вероятность попадания второго стрелка) Решение: Событие «мишень поражена дважды» означает, что и первый, и второй стрелки попали в цель. Так как их выстрелы независимы: \[P = p_1 \cdot p_2\] \[P = 0,8 \cdot 0,6 = 0,48\] Ответ: 2) 0,48. Задание 4. Дано: \(n = 2\) (броска) Решение: Событие «орел выпадет хотя бы раз» противоположно событию «орел не выпадет ни разу» (то есть дважды выпадет решка). Вероятность выпадения решки при одном броске \(q = 0,5\). Вероятность того, что решка выпадет дважды: \[P(\text{две решки}) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25\] Искомая вероятность: \[P = 1 - 0,25 = 0,75\] Ответ: 1) 0,75. Задание 5. Дано: \(p = 0,7\) (вероятность успеха) \(q = 1 - 0,7 = 0,3\) (вероятность неудачи) \(n = 3\) (испытания) \(k = 2\) (успеха) Решение: Подставим значения в формулу Бернулли \(P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\): \[P_3(2) = C_3^2 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^{3-2} = C_3^2 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^1\] Заметим, что \(C_3^2 = C_3^1\), поэтому выражение соответствует варианту 3. Ответ: 3) \(C_3^2 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^1\).