Решение задач по теореме Пифагора. Вариант 1

Самостоятельная работа по теме «Теорема Пифагора» Вариант 1 Задача 1. Дано: \(a = 2\) см, \(b = 5\) см — катеты. Найти: \(c\) — гипотенузу. Решение: По теореме Пифагора: \[c^2 = a^2 + b^2\] \[c^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29\] \[c = \sqrt{29} \text{ см}\] Ответ: \(\sqrt{29}\) см. Задача 2. Дано: \(c = 8\) см — гипотенуза, \(a = 3\) см — катет. Найти: \(b\) — второй катет. Решение: Из теоремы Пифагора: \[b^2 = c^2 - a^2\] \[b^2 = 8^2 - 3^2 = 64 - 9 = 55\] \[b = \sqrt{55} \text{ см}\] Ответ: \(\sqrt{55}\) см. Задача 3. Дано: ромб, \(d_1 = 6\) см, \(d_2 = 8\) см — диагонали. Найти: \(a\) — сторону ромба. Решение: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей. Его катеты равны: \[\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}, \quad \frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}\] Сторона ромба \(a\) является гипотенузой: \[a^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\] \[a = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\] Ответ: 5 см. Задача 4. Дано: прямоугольник, \(a = 5\) см, \(b = 4\) см — стороны. Найти: \(d\) — диагональ. Решение: Диагональ прямоугольника образует прямоугольный треугольник с его сторонами. \[d^2 = a^2 + b^2\] \[d^2 = 5^2 + 4^2 = 25 + 16 = 41\] \[d = \sqrt{41} \text{ см}\] Ответ: \(\sqrt{41}\) см. Задача 5. Дано: равнобедренный треугольник, \(b = 7\) см — боковая сторона, \(a = 4\) см — основание. Найти: \(S\) — площадь. Решение: 1) Проведем высоту \(h\) к основанию. В равнобедренном треугольнике она является медианой, значит делит основание пополам: \(2\) см. 2) Из прямоугольного треугольника найдем высоту: \[h^2 = 7^2 - 2^2 = 49 - 4 = 45\] \[h = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ см}\] 3) Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \text{ см}^2\] Ответ: \(6\sqrt{5}\) см\(^2\). Задача 6. Дано: равнобокая трапеция, \(a = 6\) см, \(b = 14\) см — основания, \(c = 5\) см — боковая сторона. Найти: \(h\) — высоту. Решение: 1) Отрезок на большем основании, отсекаемый высотой: \[x = \frac{b - a}{2} = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ см}\] 2) Из прямоугольного треугольника (боковая сторона — гипотенуза, высота и отрезок \(x\) — катеты): \[h^2 = c^2 - x^2\] \[h^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\] \[h = \sqrt{9} = 3 \text{ см}\] Ответ: 3 см.