Решение задачи №21: Скорость автомобилей

Задача №21 Пусть \(x\) км/ч — скорость первого автомобиля. Тогда скорость второго автомобиля будет \(x - 24\) км/ч (так как первый едет на 24 км/ч быстрее). Составим таблицу для наглядности: Скорость (v), км/ч | Расстояние (S), км | Время (t), ч 1-й авто: \(x\) | 420 | \(\frac{420}{x}\) 2-й авто: \(x - 24\) | 420 | \(\frac{420}{x - 24}\) По условию задачи первый автомобиль прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Это значит, что время второго автомобиля больше времени первого на 2 часа. Составим уравнение: \[\frac{420}{x - 24} - \frac{420}{x} = 2\] Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения расчетов: \[\frac{210}{x - 24} - \frac{210}{x} = 1\] Приведем дроби к общему знаменателю \(x(x - 24)\): \[\frac{210x - 210(x - 24)}{x(x - 24)} = 1\] \[\frac{210x - 210x + 5040}{x^2 - 24x} = 1\] \[\frac{5040}{x^2 - 24x} = 1\] Отсюда получаем квадратное уравнение: \[x^2 - 24x - 5040 = 0\] Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \[D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5040) = 576 + 20160 = 20736\] \[\sqrt{D} = \sqrt{20736} = 144\] Находим корни уравнения: \[x_1 = \frac{24 + 144}{2} = \frac{168}{2} = 84\] \[x_2 = \frac{24 - 144}{2} = \frac{-120}{2} = -60\] Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только корень \(x = 84\). Проверка: Скорость первого 84 км/ч, время \(420 / 84 = 5\) ч. Скорость второго \(84 - 24 = 60\) км/ч, время \(420 / 60 = 7\) ч. Разница во времени: \(7 - 5 = 2\) ч. Условие выполняется. Ответ: 84 км/ч.