Правильные многогранники: Конспект по геометрии 10 класс (Атанасян)

Глава 3. Многогранники Параграф 3. Правильные многогранники Определение Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер. Виды правильных многогранников Существует всего пять типов правильных многогранников: 1. Правильный тетраэдр Грани: 4 правильных треугольника. В каждой вершине сходятся 3 ребра. Схематичный рисунок для тетради: Рисуется как треугольная пирамида, у которой все ребра равны. 2. Правильный гексаэдр (куб) Грани: 6 квадратов. В каждой вершине сходятся 3 ребра. Схематичный рисунок для тетради: Обычный куб. 3. Правильный октаэдр Грани: 8 правильных треугольников. В каждой вершине сходятся 4 ребра. Схематичный рисунок для тетради: Две четырехугольные пирамиды, соединенные основаниями. 4. Правильный додекаэдр Грани: 12 правильных пятиугольников. В каждой вершине сходятся 3 ребра. 5. Правильный икосаэдр Грани: 20 правильных треугольников. В каждой вершине сходятся 5 ребер. Теорема Эйлера для многогранников Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение между числом вершин (V), граней (F) и ребер (E): \[V + F - E = 2\] Элементы симметрии Правильные многогранники обладают высокой степенью симметрии. У них есть: — Центр симметрии (кроме тетраэдра); — Оси симметрии; — Плоскости симметрии. Пример формулы для площади поверхности (на примере куба со стороной \(a\)): \[S = 6a^2\] Пример формулы для объема куба: \[V = a^3\] Историческая справка Правильные многогранники часто называют Платоновыми телами, так как они занимали важное место в философской картине мира Древней Греции. В современной науке изучение этих структур помогает понимать строение кристаллов и молекул, что подчеркивает важность отечественных достижений в области кристаллографии и химии.