Решение задачи С5: Определение реакций опор А и В

Задача № С5. Плоская конструкция состоит из двух тел 1 и 2, которые соединены между собой при помощи шарнира С. Определить реакции опор А и В, если \(a = 1\) м, \(\alpha = 30^\circ\). \(F = 4\) кН; \(M = 2\) кНм; \(q = 2\) кН/м. Решение: 1. Рассматриваем всю конструкцию как единое целое. Опоры: * Опора А – шарнирно-неподвижная. Имеет две реакции: \(R_{Ax}\) (горизонтальная) и \(R_{Ay}\) (вертикальная). * Опора В – шарнирно-подвижная. Имеет одну реакцию: \(R_{By}\) (вертикальная). 2. Приводим распределенную нагрузку \(q\) к сосредоточенной силе \(Q\). Длина участка, на который действует \(q\), равна \(2a\). \(Q = q \cdot 2a = 2 \text{ кН/м} \cdot 2 \cdot 1 \text{ м} = 4 \text{ кН}\). Сила \(Q\) приложена в середине участка \(2a\), то есть на расстоянии \(a\) от точки С. 3. Составляем уравнения равновесия для всей конструкции. * Сумма проекций всех сил на ось X равна нулю: \[\sum F_x = 0\] \[R_{Ax} - F \cdot \cos \alpha = 0\] \[R_{Ax} = F \cdot \cos \alpha = 4 \text{ кН} \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ кН}\] \[R_{Ax} = 3.46 \text{ кН}\] * Сумма моментов всех сил относительно точки А равна нулю: \[\sum M_A = 0\] \[-M - Q \cdot (2a \cdot \cos \alpha) - F \cdot (4a \cdot \sin \alpha) + R_{By} \cdot 4a = 0\] (Здесь \(2a \cdot \cos \alpha\) - плечо силы \(Q\) относительно А, \(4a \cdot \sin \alpha\) - плечо силы \(F\) относительно А. Обратите внимание, что сила \(Q\) действует перпендикулярно наклонной балке, поэтому ее плечо относительно А - это горизонтальная проекция расстояния от А до точки приложения \(Q\), а именно \(2a \cdot \cos \alpha\). Сила \(F\) действует под углом \(\alpha\) к вертикали, поэтому ее горизонтальная составляющая \(F \cdot \sin \alpha\) имеет плечо \(4a\), а вертикальная составляющая \(F \cdot \cos \alpha\) имеет плечо \(0\) относительно А. Однако, если \(F\) направлена под углом \(\alpha\) к оси балки, то ее вертикальная составляющая \(F \cdot \sin \alpha\) имеет плечо \(4a \cdot \cos \alpha\), а горизонтальная составляющая \(F \cdot \cos \alpha\) имеет плечо \(4a \cdot \sin \alpha\). Из рисунка видно, что \(F\) направлена под углом \(\alpha\) к вертикали, а балка наклонена под углом \(\alpha\) к горизонтали. Поэтому удобнее разложить \(F\) на составляющие по осям X и Y. \(F_x = F \cdot \sin \alpha\), \(F_y = F \cdot \cos \alpha\). Плечо \(F_y\) относительно А равно \(4a \cdot \cos \alpha\). Плечо \(F_x\) относительно А равно \(4a \cdot \sin \alpha\). Момент от \(F_y\) будет \(F \cdot \cos \alpha \cdot 4a \cdot \cos \alpha\). Момент от \(F_x\) будет \(F \cdot \sin \alpha \cdot 4a \cdot \sin \alpha\). Однако, на рисунке \(F\) направлена под углом \(\alpha\) к вертикали, а балка наклонена под углом \(\alpha\) к горизонтали. Давайте пересчитаем моменты более точно. Плечо силы \(Q\) относительно А: \(2a \cdot \cos \alpha\). Плечо силы \(F\) относительно А: \(4a \cdot \cos \alpha\). (Если \(F\) направлена под углом \(\alpha\) к вертикали, а балка под углом \(\alpha\) к горизонтали, то \(F\) перпендикулярна балке. Тогда плечо \(F\) относительно А - это расстояние \(4a\). Но на рисунке \(F\) направлена под углом \(\alpha\) к вертикали, а балка наклонена под углом \(\alpha\) к горизонтали. Это означает, что \(F\) параллельна вертикальной оси. Тогда плечо \(F\) относительно А - это горизонтальное расстояние от А до точки приложения \(F\), которое равно \(4a \cdot \cos \alpha\). Момент от \(F\) относительно А: \(F \cdot (4a \cdot \cos \alpha)\). Момент от \(Q\) относительно А: \(Q \cdot (2a \cdot \cos \alpha)\). Момент от \(M\) относительно А: \(-M\). Момент от \(R_{By}\) относительно А: \(R_{By} \cdot 4a\). Перепишем уравнение моментов: \[-M - Q \cdot (2a \cdot \cos \alpha) - F \cdot (4a \cdot \cos \alpha) + R_{By} \cdot 4a = 0\] \[-2 \text{ кНм} - 4 \text{ кН} \cdot (2 \cdot 1 \text{ м} \cdot \cos 30^\circ) - 4 \text{ кН} \cdot (4 \cdot 1 \text{ м} \cdot \cos 30^\circ) + R_{By} \cdot 4 \cdot 1 \text{ м} = 0\] \[-2 - 4 \cdot (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \cdot (4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 R_{By} = 0\] \[-2 - 4\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 4 R_{By} = 0\] \[-2 - 12\sqrt{3} + 4 R_{By} = 0\] \[4 R_{By} = 2 + 12\sqrt{3}\] \[R_{By} = \frac{2 + 12\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} + 3\sqrt{3} \approx 0.5 + 3 \cdot 1.732 = 0.5 + 5.196 = 5.696 \text{ кН}\] \[R_{By} = 5.70 \text{ кН}\] * Сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю: \[\sum F_y = 0\] \[R_{Ay} - Q - F \cdot \sin \alpha + R_{By} = 0\] (Здесь \(F \cdot \sin \alpha\) - вертикальная составляющая силы \(F\). Если \(F\) направлена под углом \(\alpha\) к вертикали, то ее вертикальная составляющая \(F \cdot \cos \alpha\). Из рисунка видно, что \(F\) направлена под углом \(\alpha\) к вертикали. Тогда вертикальная составляющая \(F_y = F \cdot \cos \alpha\). Горизонтальная составляющая \(F_x = F \cdot \sin \alpha\). Перепишем уравнение: \[R_{Ay} - Q - F \cdot \cos \alpha + R_{By} = 0\] \[R_{Ay} - 4 \text{ кН} - 4 \text{ кН} \cdot \cos 30^\circ + 5.70 \text{ кН} = 0\] \[R_{Ay} - 4 - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5.70 = 0\] \[R_{Ay} - 4 - 2\sqrt{3} + 5.70 = 0\] \[R_{Ay} - 4 - 3.46 + 5.70 = 0\] \[R_{Ay} - 7.46 + 5.70 = 0\] \[R_{Ay} - 1.76 = 0\] \[R_{Ay} = 1.76 \text{ кН}\] Ответ: Реакции опор: \(R_{Ax} = 3.46 \text{ кН}\) \(R_{Ay} = 1.76 \text{ кН}\) \(R_{By} = 5.70 \text{ кН}\)