Решение задачи 11: Найдем угол AOB

Ниже представлено решение задачи №11, оформленное для записи в тетрадь. Задача №11 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 14^\circ \) \( AD, BE \) — биссектрисы \( O \) — точка пересечения биссектрис Найти: \( \angle AOB \) Решение: 1. Сумма углов любого треугольника равна \( 180^\circ \). Рассмотрим \( \triangle ABC \): \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \] Подставим известное значение \( \angle C \): \[ \angle A + \angle B + 14^\circ = 180^\circ \] \[ \angle A + \angle B = 180^\circ - 14^\circ = 166^\circ \] 2. Так как \( AD \) и \( BE \) — биссектрисы, они делят углы \( A \) и \( B \) пополам. Рассмотрим \( \triangle AOB \). В нем углы при основании \( AB \) равны: \[ \angle OAB = \frac{1}{2} \angle A \] \[ \angle OBA = \frac{1}{2} \angle B \] 3. Сумма углов в \( \triangle AOB \) также равна \( 180^\circ \): \[ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ \] \[ \angle AOB + \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = 180^\circ \] \[ \angle AOB + \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 180^\circ \] 4. Подставим значение суммы \( (\angle A + \angle B) \), найденное в первом пункте: \[ \angle AOB + \frac{1}{2} \cdot 166^\circ = 180^\circ \] \[ \angle AOB + 83^\circ = 180^\circ \] \[ \angle AOB = 180^\circ - 83^\circ = 97^\circ \] Ответ: 97