Решение задачи 414: Система уравнений

Решение задачи №414. Дано уравнение: \(3x - 2y = 1\). Нужно подобрать второе уравнение для системы вида: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ ax + by = c \end{cases} \] а) Система имеет единственное решение. Для этого коэффициенты при переменных не должны быть пропорциональны, то есть \(\frac{3}{a} \neq \frac{-2}{b}\). Самый простой способ — изменить коэффициенты так, чтобы их отношение было разным. Возьмем, например, уравнение: \(x + y = 5\). Проверка: \(\frac{3}{1} \neq \frac{-2}{1}\) (верно, \(3 \neq -2\)). Ответ: \(x + y = 5\). б) Система не имеет решений. Для этого коэффициенты при переменных должны быть пропорциональны, но свободные члены — нет: \(\frac{3}{a} = \frac{-2}{b} \neq \frac{1}{c}\). Умножим левую часть исходного уравнения на 2, а правую часть заменим на любое другое число (например, 5). Получим уравнение: \(6x - 4y = 5\). Проверка: \(\frac{3}{6} = \frac{-2}{-4} \neq \frac{1}{5}\) (верно, \(0,5 = 0,5 \neq 0,2\)). Ответ: \(6x - 4y = 5\). в) Система имеет бесчисленное множество решений. Для этого все коэффициенты должны быть пропорциональны: \(\frac{3}{a} = \frac{-2}{b} = \frac{1}{c}\). Просто умножим всё исходное уравнение на любое число, например на 2. Получим уравнение: \(6x - 4y = 2\). Проверка: \(\frac{3}{6} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\) (верно, \(0,5 = 0,5 = 0,5\)). Ответ: \(6x - 4y = 2\).