Площадь Осевого Сечения Цилиндра: Решение с Примером

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в школьную тетрадь. Вопрос 2. Как найти площадь осевого сечения цилиндра? Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра \(h\) и диаметру основания \(d = 2r\). Формула площади осевого сечения: \[S_{oc} = 2 \cdot r \cdot h\] где \(r\) — радиус основания, \(h\) — высота цилиндра. Задача 3. Дано: \(r = 7\) см, \(h = 12\) см. Найти: \(d_{oc}\) (диагональ осевого сечения). Решение: Осевое сечение представляет собой прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\). 1) Найдем ширину сечения (диаметр основания): \[d = 2 \cdot r = 2 \cdot 7 = 14 \text{ см}\] 2) По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного сторонами сечения и его диагональю: \[d_{oc} = \sqrt{(2r)^2 + h^2}\] \[d_{oc} = \sqrt{14^2 + 12^2} = \sqrt{196 + 144} = \sqrt{340} = 2\sqrt{85} \text{ см}\] Ответ: \(2\sqrt{85}\) см. Задача 4. Дано: осевое сечение — квадрат, диагональ \(d_{oc} = 25\) см (в условии опечатка \(см^2\), для диагонали это см). Найти: \(S_{ocн}\). Решение: 1) Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда диагональ квадрата \(d_{oc} = a\sqrt{2}\). \[a = \frac{25}{\sqrt{2}} \text{ см}\] Так как это осевое сечение, то высота \(h = a\) и диаметр \(2r = a\). 2) Найдем радиус: \[r = \frac{a}{2} = \frac{25}{2\sqrt{2}} \text{ см}\] 3) Площадь основания: \[S_{ocн} = \pi r^2 = \pi \cdot \left(\frac{25}{2\sqrt{2}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{625}{4 \cdot 2} = \frac{625\pi}{8} = 78,125\pi \text{ см}^2\] Ответ: \(78,125\pi \text{ см}^2\). Задача 5. Дано: \(d_{oc} = 24\) см, угол между диагональю и образующей \(\alpha = 60^\circ\). Найти: \(h, r\). Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза — диагональ сечения, а катеты — высота \(h\) и диаметр \(2r\). 1) Высота (катет, прилежащий к углу \(60^\circ\)): \[h = d_{oc} \cdot \cos(60^\circ) = 24 \cdot 0,5 = 12 \text{ см}\] 2) Диаметр (катет, противолежащий углу \(60^\circ\)): \[2r = d_{oc} \cdot \sin(60^\circ) = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}\] 3) Радиус: \[r = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см}\] Ответ: \(h = 12\) см, \(r = 6\sqrt{3}\) см. Задача 6. Дано: \(h = 6\) см, \(r = 5\) см, расстояние до оси \(a = 4\) см. Найти: \(S_{сеч}\). Решение: Сечение, параллельное оси — прямоугольник со сторонами \(h\) и \(L\) (хорда основания). 1) Рассмотрим основание цилиндра. Хорда \(L\) находится на расстоянии \(a = 4\) см от центра. По теореме Пифагора половина хорды равна: \[\frac{L}{2} = \sqrt{r^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 \text{ см}\] 2) Длина всей хорды: \[L = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}\] 3) Площадь сечения: \[S_{сеч} = L \cdot h = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2\] Ответ: \(36 \text{ см}^2\). Схематичные рисунки для тетради: Для задач 2-5: Нарисуйте цилиндр, проведите вертикальный прямоугольник через центр (осевое сечение) и обозначьте его стороны как \(h\) и \(2r\). Для задачи 6: Нарисуйте цилиндр и вертикальный прямоугольник, смещенный от центра. В основании проведите радиус к краю сечения и перпендикуляр от центра к хорде (расстояние 4 см).