Краткий конспект: Уравнение окружности и прямой

Ниже представлен краткий конспект по теме Уравнения окружности и прямой, составленный на основе присланных страниц учебника. Уравнение линии на плоскости Уравнением линии в прямоугольной системе координат называется уравнение с двумя переменными \(x\) и \(y\), которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. 1. Уравнение окружности Пусть окружность имеет центр в точке \(C(x_0; y_0)\) и радиус \(r\). Расстояние от любой точки окружности \(M(x; y)\) до центра \(C\) равно \(r\). По формуле расстояния между точками: \[\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r\] Возведя в квадрат, получаем уравнение окружности: \[(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2\] Частный случай: если центр окружности совпадает с началом координат \(O(0; 0)\), то уравнение принимает вид: \[x^2 + y^2 = r^2\] 2. Уравнение прямой Любая прямая в декартовых координатах задается уравнением первой степени: \[ax + by + c = 0\] где \(a, b, c\) — некоторые числа, причем \(a\) и \(b\) не равны нулю одновременно. Виды уравнений прямой: 1. Прямая, параллельная оси \(Oy\), проходящая через точку \(M_0(x_0; y_0)\), имеет вид: \[x = x_0\] (В частности, уравнение оси \(Oy\): \(x = 0\)). 2. Прямая, параллельная оси \(Ox\), имеет вид: \[y = y_0\] (В частности, уравнение оси \(Ox\): \(y = 0\)). 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: \[y = kx + d\] где \(k\) — угловой коэффициент прямой. Если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны. Пример решения задачи (из учебника): Найти уравнение окружности с центром в точке \((-3; 4)\), проходящей через начало координат \(O(0; 0)\). 1. Подставим координаты центра в общее уравнение: \((x + 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2\). 2. Так как точка \((0; 0)\) лежит на окружности: \((0 + 3)^2 + (0 - 4)^2 = r^2 \Rightarrow 9 + 16 = 25\). Значит, \(r^2 = 25\). 3. Ответ: \((x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25\).