Решение неравенств: Контрольная работа №4, Вариант 1

Контрольная работа №4. Вариант 1. Задание 1. Решите неравенство: а) \( 3x^2 - 2x - 5 > 0 \) Найдем корни уравнения \( 3x^2 - 2x - 5 = 0 \): \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 \] \[ x_1 = \frac{2 + 8}{6} = \frac{10}{6} = 1\frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{2 - 8}{6} = -1 \] Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен, ветви параболы направлены вверх. Решением неравенства являются интервалы, где парабола выше оси \( Ox \). Ответ: \( x \in (-\infty; -1) \cup (1\frac{2}{3}; +\infty) \) б) \( x^2 + 6x + 9 < 0 \) Заметим, что левая часть — это полный квадрат: \[ (x + 3)^2 < 0 \] Квадрат любого числа всегда неотрицателен, поэтому данное неравенство не имеет решений. Ответ: нет решений. в) \( -x^2 + 6x \ge 0 \) Умножим на \(-1\), сменив знак неравенства: \[ x^2 - 6x \le 0 \] \[ x(x - 6) \le 0 \] Корни: \( x = 0 \) и \( x = 6 \). Это парабола ветвями вверх, нас интересует область между корнями. Ответ: \( x \in [0; 6] \) Задание 2. Решите неравенство методом интервалов: а) \( (x - 3)(x + 5) > 0 \) Нули функции: \( x = 3 \), \( x = -5 \). Расставим знаки на числовой прямой: \( + \) на \( (-\infty; -5) \), \( - \) на \( (-5; 3) \), \( + \) на \( (3; +\infty) \). Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty) \) б) \( \frac{x + 1}{x - 7,5} < 0 \) Нули числителя: \( x = -1 \). Нули знаменателя: \( x = 7,5 \). Метод интервалов дает чередование знаков. Отрицательные значения находятся между корнями. Ответ: \( x \in (-1; 7,5) \) Задание 3. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} x^2 + 9x + 8 \le 0 \\ -0,3x > 1,8 \end{cases} \] 1) Решим первое неравенство: \( x^2 + 9x + 8 \le 0 \). Корни по теореме Виета: \( x_1 = -1, x_2 = -8 \). Решение: \( x \in [-8; -1] \). 2) Решим второе неравенство: \( -0,3x > 1,8 \). Поделим на \(-0,3\), меняя знак: \( x < -6 \). Пересечение решений: \( x \in [-8; -6) \). Ответ: \( [-8; -6) \) Задание 4. При каких значениях \( x \) имеет смысл выражение: а) \( \sqrt{(3 - 2x)(x + 7)} \) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ (3 - 2x)(x + 7) \ge 0 \] Корни: \( x = 1,5 \) и \( x = -7 \). Это парабола ветвями вниз, значит значения \(\ge 0\) находятся между корнями. Ответ: \( x \in [-7; 1,5] \) б) \( \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4x + 4}} \) Знаменатель не равен нулю, а выражение под корнем должно быть строго больше нуля: \[ x^2 - 4x + 4 > 0 \] \[ (x - 2)^2 > 0 \] Квадрат больше нуля всегда, кроме случая, когда основание равно нулю. То есть \( x - 2 \neq 0 \). Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) \) Задание 5. Найдите область определения функции: \[ y = \sqrt{\frac{8 + 2x - x^2}{x + 4}} \] Дробь под корнем должна быть неотрицательной: \[ \frac{-(x^2 - 2x - 8)}{x + 4} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x - 4)(x + 2)}{x + 4} \le 0 \] Нули: \( x = 4, x = -2 \). Точка разрыва: \( x = -4 \). Метод интервалов для \( \frac{(x - 4)(x + 2)}{x + 4} \): - На \( (-\infty; -4) \) знак \( - \) (подходит) - На \( (-4; -2] \) знак \( + \) - На \( [-2; 4] \) знак \( - \) (подходит) - На \( (4; +\infty) \) знак \( + \) Ответ: \( x \in (-\infty; -4) \cup [-2; 4] \)