Нахождение координат точек на координатной плоскости (рис. 200)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Для заданных точек на координатной плоскости найдите их координаты (см. рис. 200). Решение: По рисунку 200 определяем координаты каждой точки: Точка \(A\): находится на 2 единицы влево от оси \(y\) и на 2 единицы вниз от оси \(x\). Значит, \(A(-2; -2)\). Точка \(B\): находится на 3 единицы влево от оси \(y\) и на оси \(x\). Значит, \(B(-3; 0)\). Точка \(C\): находится на оси \(y\) и на 2 единицы вверх от оси \(x\). Значит, \(C(0; 2)\). Точка \(D\): находится на 3 единицы вправо от оси \(y\) и на 3 единицы вверх от оси \(x\). Значит, \(D(3; 3)\). Точка \(E\): находится на 2 единицы вправо от оси \(y\) и на 1 единицу вверх от оси \(x\). Значит, \(E(2; 1)\). Ответ: \(A(-2; -2)\), \(B(-3; 0)\), \(C(0; 2)\), \(D(3; 3)\), \(E(2; 1)\). 2. Нарисуйте прямоугольную систему координат. а) Отметьте на ней точки \(M(-5; -1)\), \(K(4; 3)\), \(P(-4; 2)\), \(N(0; -3)\), \(M(3; 0)\). б) Напишите координаты вектора \(\vec{KP}\). в) Отложите от точки \(N\) вектор \(\vec{a}\{-3; 2\}\). Решение: а) (Здесь должен быть рисунок координатной плоскости с отмеченными точками: \(M(-5; -1)\) - 5 влево, 1 вниз. \(K(4; 3)\) - 4 вправо, 3 вверх. \(P(-4; 2)\) - 4 влево, 2 вверх. \(N(0; -3)\) - на оси \(y\), 3 вниз. \(M(3; 0)\) - на оси \(x\), 3 вправо. Обратите внимание, что точка \(M\) указана дважды с разными координатами. Предположим, что вторая точка должна быть другой, например, \(Q(3;0)\), или это опечатка и нужно использовать только одну из них. Для решения задачи будем использовать все указанные точки, но для построения на одной плоскости это может вызвать путаницу. Если это опечатка, и вторая \(M\) должна быть другой буквой, то следует уточнить. Если же это две разные точки, то так и отмечаем. Для ясности, я буду использовать \(M_1(-5;-1)\) и \(M_2(3;0)\) для построения, но в пункте б) и 4) буду использовать \(M(-5;-1)\) как первую указанную.) б) Напишите координаты вектора \(\vec{KP}\). Координаты точек: \(K(4; 3)\) и \(P(-4; 2)\). Координаты вектора \(\vec{KP}\) находятся как разность координат конца и начала: \[\vec{KP} = \{x_P - x_K; y_P - y_K\}\] \[\vec{KP} = \{-4 - 4; 2 - 3\}\] \[\vec{KP} = \{-8; -1\}\] Ответ: Координаты вектора \(\vec{KP}\) равны \(\{-8; -1\}\). в) Отложите от точки \(N\) вектор \(\vec{a}\{-3; 2\}\). Точка \(N(0; -3)\). Чтобы отложить вектор \(\vec{a}\{-3; 2\}\) от точки \(N\), нужно к координатам точки \(N\) прибавить координаты вектора \(\vec{a}\). Пусть конец вектора будет точка \(N'\). \[N'(x_N + x_a; y_N + y_a)\] \[N'(0 + (-3); -3 + 2)\] \[N'(-3; -1)\] (На рисунке нужно нарисовать точку \(N(0;-3)\) и от нее провести вектор в точку \(N'(-3;-1)\)). 3. Найдите расстояние от начала координат до точки \(P(-2; 3)\). Решение: Начало координат - это точка \(O(0; 0)\). Точка \(P(-2; 3)\). Расстояние между двумя точками \(O(x_1; y_1)\) и \(P(x_2; y_2)\) находится по формуле: \[OP = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] В данном случае \(x_1 = 0\), \(y_1 = 0\), \(x_2 = -2\), \(y_2 = 3\). \[OP = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (3 - 0)^2}\] \[OP = \sqrt{(-2)^2 + 3^2}\] \[OP = \sqrt{4 + 9}\] \[OP = \sqrt{13}\] Ответ: Расстояние от начала координат до точки \(P(-2; 3)\) равно \(\sqrt{13}\). 4. Найдите координаты середины отрезка \(MK\), если \(M(-5; -1)\), \(K(4; 3)\). Решение: Координаты середины отрезка \(MK\) с точками \(M(x_1; y_1)\) и \(K(x_2; y_2)\) находятся по формуле: \[Середина = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\] Для точек \(M(-5; -1)\) и \(K(4; 3)\): \[Середина = \left(\frac{-5 + 4}{2}; \frac{-1 + 3}{2}\right)\] \[Середина = \left(\frac{-1}{2}; \frac{2}{2}\right)\] \[Середина = \left(-0.5; 1\right)\] Ответ: Координаты середины отрезка \(MK\) равны \((-0.5; 1)\).