Решение задач по геометрии: призма и пирамида с рисунками

Ниже представлены решения задач с необходимыми пояснениями и формулами для записи в тетрадь. Задача А5. Дано: правильная четырёхугольная призма, сторона основания \(a = 5\) см, высота \(h = 2\) см. Найти: \(S_{бок}\). Решение: Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту: \[S_{бок} = P \cdot h\] Так как в основании квадрат: \[P = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20 \text{ см}\] \[S_{бок} = 20 \cdot 2 = 40 \text{ см}^2\] Ответ: а) 40 \(см^2\). Задача А6. Дано: правильная треугольная пирамида, апофема (высота боковой грани) \(l = 6\) см, сторона основания \(a = 4\) см. Найти: \(S_{бок}\). Решение: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: \[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l\] Периметр основания (равносторонний треугольник): \[P = 3 \cdot a = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}\] \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2\] (Примечание: в вариантах ответа на фото опечатка или неточность, расчет дает 36). Задача А7. Дано: диаметр сферы \(D = 8\) см. Найти: \(V_{шара}\). Решение: Радиус сферы \(R = D / 2 = 8 / 2 = 4\) см. Объем шара вычисляется по формуле: \[V = \frac{4}{3} \pi R^3\] \[V = \frac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 64 = \frac{256}{3} \pi \approx 85,3 \pi \text{ см}^3\] (Проверьте условие, возможно в вариантах ответа указаны другие данные). Задача В1. Дано: правильная четырёхугольная пирамида, \(a = 5\) см, \(l = 7\) см. Найти: \(S_{полн}\). Решение: \[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}\] \[S_{осн} = a^2 = 5^2 = 25 \text{ см}^2\] \[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 5) \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70 \text{ см}^2\] \[S_{полн} = 25 + 70 = 95 \text{ см}^2\] Ответ: 95 \(см^2\). Задача В2. Дано: прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), \(ABCD\) — квадрат, \(AB = 4\) см, \(BD_1 = 4\sqrt{3}\) см. Найти: \(V\). Решение: Пусть сторона основания \(a = 4\), высота \(h = AA_1\). Диагональ прямоугольного параллелепипеда: \[d^2 = a^2 + b^2 + h^2\] Так как в основании квадрат (\(a=b=4\)): \[(4\sqrt{3})^2 = 4^2 + 4^2 + h^2\] \[16 \cdot 3 = 16 + 16 + h^2\] \[48 = 32 + h^2 \Rightarrow h^2 = 16 \Rightarrow h = 4 \text{ см}\] Объем: \[V = S_{осн} \cdot h = a^2 \cdot h = 4^2 \cdot 4 = 64 \text{ см}^3\] Ответ: 64 \(см^3\). Задача В3. Дано: цилиндр, диагональ осевого сечения \(d = 10\) см, радиус основания \(r = 4\) см. Найти: \(S_{бок}\). Решение: Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2r\) и \(h\). Диаметр основания \(D = 2r = 8\) см. По теореме Пифагора найдем высоту \(h\): \[h^2 = d^2 - D^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \Rightarrow h = 6 \text{ см}\] Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 4 \cdot 6 = 48\pi \text{ см}^2\] Ответ: \(48\pi\) \(см^2\). Задача С1. Дано: прямая призма, в основании прямоугольный треугольник, гипотенуза \(c = 20\) см, катет \(a = 16\) см. Диагональ боковой грани, содержащей второй катет, \(d_{гр} = 13\) см. Найти: \(S_{полн}\). Решение: 1. Найдем второй катет \(b\) по теореме Пифагора: \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}\] 2. Найдем высоту призмы \(h\) из диагонали грани, содержащей катет \(b\): \[h = \sqrt{d_{гр}^2 - b^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\] 3. Площадь основания: \[S_{осн} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 96 \text{ см}^2\] 4. Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (16 + 12 + 20) \cdot 5 = 48 \cdot 5 = 240 \text{ см}^2\] 5. Полная площадь: \[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 96 + 240 = 192 + 240 = 432 \text{ см}^2\] Ответ: 432 \(см^2\).