Подробное решение задачи по геометрии тетраэдра

Ниже представлено подробное решение задачи с доски, оформленное так, чтобы его было удобно переписать в тетрадь и использовать как готовый текст для ответа учителю. Дано: \(D \notin (ABC)\) (точка \(D\) не лежит в плоскости треугольника \(ABC\), перед нами тетраэдр). \(AM = MD\), \(BN = ND\), \(CP = PD\) (точки \(M, N, P\) — середины ребер \(AD, BD, CD\) соответственно). \(K \in BN\) (точка \(K\) лежит на отрезке \(BN\)). Задание: Определить взаимное расположение прямых. Решение: а) \(ND\) и \(AB\) Прямая \(ND\) лежит в плоскости грани \(ADB\). Прямая \(AB\) также лежит в этой плоскости. Однако эти прямые не имеют общих точек (так как \(ND\) является частью медианы/стороны, а \(AB\) — основание грани) и они не параллельны. Но если рассматривать их в пространстве: прямая \(ND\) (это прямая \(BD\)) и прямая \(AB\) пересекаются в точке \(B\). Ответ: Пересекаются в точке \(B\). б) \(PK\) и \(BC\) Точка \(P\) — середина \(CD\), точка \(K\) лежит на \(BD\). Значит, прямая \(PK\) лежит в плоскости грани \(BDC\). Прямая \(BC\) также лежит в плоскости \(BDC\). Так как точки \(P\) и \(K\) не являются серединами сторон, обеспечивающими параллельность основанию \(BC\) (точка \(K\) находится внутри отрезка \(BN\), а не в середине \(BD\)), эти прямые пересекутся при продолжении. Ответ: Пересекаются (в плоскости \(BDC\)). в) \(MN\) и \(AB\) Рассмотрим треугольник \(ADB\). Точка \(M\) — середина \(AD\), точка \(N\) — середина \(BD\). Следовательно, отрезок \(MN\) является средней линией треугольника \(ADB\). По свойству средней линии треугольника, она параллельна его основанию. Ответ: \(MN \parallel AB\) (так как \(MN\) — средняя линия \(\triangle ADB\)). г) \(MP\) и \(AC\) Рассмотрим треугольник \(ADC\). Точка \(M\) — середина \(AD\), точка \(P\) — середина \(CD\). Следовательно, отрезок \(MP\) является средней линией треугольника \(ADC\). По свойству средней линии, она параллельна основанию треугольника. Ответ: \(MP \parallel AC\) (так как \(MP\) — средняя линия \(\triangle ADC\)). д) \(KN\) и \(AC\) Прямая \(KN\) лежит на прямой \(BD\). Прямые \(BD\) и \(AC\) являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости (точка \(D\) не принадлежит плоскости \(ABC\), а \(B\) не принадлежит прямой \(AC\)). Если прямые не параллельны и не пересекаются, они называются скрещивающимися. Ответ: Скрещиваются. е) \(MD\) и \(BC\) Прямая \(MD\) — это прямая \(AD\). Прямая \(BC\) лежит в плоскости основания. Эти прямые не имеют общих точек и не параллельны, они лежат в разных плоскостях, которые не содержат эти прямые целиком. Это классический пример скрещивающихся ребер тетраэдра. Ответ: Скрещиваются. Подробное объяснение для ответа учителю: 1. Для пунктов (в) и (г) мы используем признак параллельности прямых через среднюю линию треугольника. Если отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, он всегда параллелен третьей стороне. Так как \(M, N, P\) — середины, то \(MN \parallel AB\) и \(MP \parallel AC\). 2. Для пунктов (д) и (е) мы используем определение скрещивающихся прямых. Прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Например, прямая \(AD\) (на которой лежит \(MD\)) и прямая \(BC\) не могут быть помещены в одну плоскость, так как точка \(D\) находится вне плоскости \(ABC\). 3. Для пунктов (а) и (б) мы смотрим, лежат ли прямые в одной плоскости. Если лежат и не параллельны, то они обязательно пересекаются. Прямые \(ND\) и \(AB\) лежат в плоскости грани \(ADB\) и имеют общую точку \(B\). Прямые \(PK\) и \(BC\) лежат в плоскости грани \(BDC\) и пересекутся, так как не выполняется условие параллельности.