Решение задач 3 Варианта

Ниже представлено решение всех задач из 3 варианта. Оформление выполнено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. 3 вариант Задание 1. \[ \log_{\frac{2}{5}}(2 - 9x) = \log_{\frac{2}{5}}(27 - 4x) \] Решение: Так как основания логарифмов равны, приравниваем подлогарифмические выражения: \[ 2 - 9x = 27 - 4x \] Перенесем слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа в правую: \[ -9x + 4x = 27 - 2 \] \[ -5x = 25 \] \[ x = 25 : (-5) \] \[ x = -5 \] Проверка ОДЗ: \( 2 - 9 \cdot (-5) = 2 + 45 = 47 > 0 \) \( 27 - 4 \cdot (-5) = 27 + 20 = 47 > 0 \) Ответ: \( -5 \). Задание 2. \[ \log_{9}(7 - 2x) = 2 \] Решение: По определению логарифма: \[ 7 - 2x = 9^2 \] \[ 7 - 2x = 81 \] \[ -2x = 81 - 7 \] \[ -2x = 74 \] \[ x = 74 : (-2) \] \[ x = -37 \] Ответ: \( -37 \). Задание 3. \[ \log_{\frac{1}{6}}(3 - 10x) = -2 \] Решение: По определению логарифма: \[ 3 - 10x = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} \] \[ 3 - 10x = 6^2 \] \[ 3 - 10x = 36 \] \[ -10x = 36 - 3 \] \[ -10x = 33 \] \[ x = -3,3 \] Ответ: \( -3,3 \). Задание 4. \[ \log_{8} x = 3\log_{8} 5 - \log_{8} 10 \] Решение: Используем свойства логарифмов: \[ \log_{8} x = \log_{8} 5^3 - \log_{8} 10 \] \[ \log_{8} x = \log_{8} 125 - \log_{8} 10 \] \[ \log_{8} x = \log_{8} \left(\frac{125}{10}\right) \] \[ x = 12,5 \] Ответ: \( 12,5 \). Задание 5. \[ \log_{\frac{1}{10}}(x - 1) + \log_{\frac{1}{10}}(x + 2) = -1 \] Решение: ОДЗ: \( x - 1 > 0 \) и \( x + 2 > 0 \), откуда \( x > 1 \). Используем свойство суммы логарифмов: \[ \log_{\frac{1}{10}}((x - 1)(x + 2)) = -1 \] \[ (x - 1)(x + 2) = \left(\frac{1}{10}\right)^{-1} \] \[ x^2 + 2x - x - 2 = 10 \] \[ x^2 + x - 12 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = -4 \) (не подходит по ОДЗ) \[ x_2 = 3 \] Ответ: \( 3 \). Задание 6. \[ \log_{3}^2 x + \log_{3} x = 12 \] Решение: Пусть \( \log_{3} x = t \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 + t - 12 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 = -4 \] \[ t_2 = 3 \] Вернемся к замене: 1) \( \log_{3} x = -4 \Rightarrow x = 3^{-4} \Rightarrow x = \frac{1}{81} \) 2) \( \log_{3} x = 3 \Rightarrow x = 3^3 \Rightarrow x = 27 \) Ответ: \( \frac{1}{81}; 27 \).