Решение неравенства методом интервалов: (x-2)^3(x+1)/(x+7) < 0

Для решения данного неравенства методом интервалов выполним следующие шаги: \[ \frac{(x-2)^3(x+1)}{x+7} < 0 \] 1. Определим точки, где числитель или знаменатель обращаются в нуль: Нули числителя: \[ (x-2)^3 = 0 \Rightarrow x = 2 \] \[ x+1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Нули знаменателя: \[ x+7 = 0 \Rightarrow x = -7 \] Таким образом, в окошки на числовой прямой нужно вписать числа в порядке возрастания (слева направо): Первое окошко: \( -7 \) Второе окошко: \( -1 \) Третье окошко: \( 2 \) 2. Определим, какие точки выколотые, а какие закрашенные: В данном неравенстве используется строгий знак "меньше" (\( < \)). Это означает, что: - Все нули числителя (\( x = 2 \) и \( x = -1 \)) будут выколотыми. - Нуль знаменателя (\( x = -7 \)) всегда выколотый, так как на ноль делить нельзя. Итог: Все три точки (\( -7, -1, 2 \)) являются выколотыми. 3. Схема знаков на интервалах: Расставим знаки на промежутках, подставляя значения в выражение \( f(x) = \frac{(x-2)^3(x+1)}{x+7} \): - Интервал \( (-\infty; -7) \): возьмем \( x = -10 \). \[ \frac{(-10-2)^3(-10+1)}{-10+7} = \frac{(-)^3 \cdot (-)}{-} = \frac{(-) \cdot (-)}{-} = \frac{+}{-} = - \] Знак: \( - \) - Интервал \( (-7; -1) \): возьмем \( x = -2 \). \[ \frac{(-2-2)^3(-2+1)}{-2+7} = \frac{(-)^3 \cdot (-)}{+} = \frac{(-) \cdot (-)}{+} = \frac{+}{+} = + \] Знак: \( + \) - Интервал \( (-1; 2) \): возьмем \( x = 0 \). \[ \frac{(0-2)^3(0+1)}{0+7} = \frac{(-8) \cdot 1}{7} = - \] Знак: \( - \) - Интервал \( (2; +\infty) \): возьмем \( x = 3 \). \[ \frac{(3-2)^3(3+1)}{3+7} = \frac{1^3 \cdot 4}{10} = + \] Знак: \( + \) Схема знаков (слева направо): \( - \) | \( + \) | \( - \) | \( + \) Так как по условию нам нужно \( < 0 \), решением будут интервалы со знаком "минус": \[ x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 2) \]